Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7101 / 9180
↖ ↑ ↗
← N 78.102826°
W140.993042°		 ← 125.93 m → N 78.102826°
W140.987549°		 →
↑
125.89 m
↓
↑
125.89 m
↓
N 78.101694°
W140.993042°		 ← 125.94 m →
15 854 m²		 N 78.101694°
W140.987549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108360290527344 y=0.140083312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108360290527344 × 216)
    floor (0.108360290527344 × 65536)
    floor (7101.5)     		tx = 7101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140083312988281 × 216)
    floor (0.140083312988281 × 65536)
    floor (9180.5)     		ty = 9180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7101 / 9180 ti = "16/7101/9180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7101/9180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7101 ÷ 216
    7101 ÷ 65536     		x = 0.108352661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9180 ÷ 216
    9180 ÷ 65536     		y = 0.14007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108352661132812 × 2 - 1) × π
    -0.783294677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.46079281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14007568359375 × 2 - 1) × π
    0.7198486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26147117647577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46079281} λ = -2.46079281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26147117647577))-π/2
    2×atan(9.59719795782777)-π/2
    2×1.46697389991144-π/2
    2.93394779982289-1.57079632675     		φ = 1.36315147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46079281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.993042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36315147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.102826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7101 KachelY 9180 -2.46079281 1.36315147 -140.993042 78.102826
    Oben rechts KachelX + 1 7102 KachelY 9180 -2.46069693 1.36315147 -140.987549 78.102826
    Unten links KachelX 7101 KachelY + 1 9181 -2.46079281 1.36313171 -140.993042 78.101694
    Unten rechts KachelX + 1 7102 KachelY + 1 9181 -2.46069693 1.36313171 -140.987549 78.101694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36315147-1.36313171) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dl = 125.890960000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36315147-1.36313171) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dr = 125.890960000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46079281--2.46069693) × cos(1.36315147) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20615592098034 × 6371000     		do = 125.930649441521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46079281--2.46069693) × cos(1.36313171) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20617525647859 × 6371000     		du = 125.942460559244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36315147)-sin(1.36313171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20615592098034-0.20617525647859)×R²
    abs(-2.46069693--2.46079281)×1.93354982493954e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.93354982493954e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.93354982493954e-05×40589641000000     		ar = 15854.2738084246m²