Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71009 / 96423
↖ ↑ ↗
← S 64.367249°
E 15.032043°		 ← 132.13 m → S 64.367249°
E 15.034790°		 →
↑
132.13 m
↓
↑
132.13 m
↓
S 64.368438°
E 15.032043°		 ← 132.12 m →
17 458 m²		 S 64.368438°
E 15.034790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541759490966797 y=0.735652923583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541759490966797 × 217)
    floor (0.541759490966797 × 131072)
    floor (71009.5)     		tx = 71009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735652923583984 × 217)
    floor (0.735652923583984 × 131072)
    floor (96423.5)     		ty = 96423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71009 / 96423 ti = "17/71009/96423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71009/96423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71009 ÷ 217
    71009 ÷ 131072     		x = 0.541755676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96423 ÷ 217
    96423 ÷ 131072     		y = 0.735649108886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541755676269531 × 2 - 1) × π
    0.0835113525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26235865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735649108886719 × 2 - 1) × π
    -0.471298217773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.48062701856467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26235865} λ = 0.26235865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48062701856467))-π/2
    2×atan(0.227495000065964)-π/2
    2×0.223687946647363-π/2
    0.447375893294725-1.57079632675     		φ = -1.12342043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26235865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.032043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12342043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.367249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71009 KachelY 96423 0.26235865 -1.12342043 15.032043 -64.367249
    Oben rechts KachelX + 1 71010 KachelY 96423 0.26240659 -1.12342043 15.034790 -64.367249
    Unten links KachelX 71009 KachelY + 1 96424 0.26235865 -1.12344117 15.032043 -64.368438
    Unten rechts KachelX + 1 71010 KachelY + 1 96424 0.26240659 -1.12344117 15.034790 -64.368438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12342043--1.12344117) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dl = 132.134540000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12342043--1.12344117) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dr = 132.134540000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26235865-0.26240659) × cos(-1.12342043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432601173128109 × 6371000     		do = 132.127533427434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26235865-0.26240659) × cos(-1.12344117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432582474153971 × 6371000     		du = 132.121822279421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12342043)-sin(-1.12344117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432601173128109-0.432582474153971)×R²
    abs(0.26240659-0.26235865)×1.86989741383092e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86989741383092e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86989741383092e-05×40589641000000     		ar = 17458.2335316215m²