Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71009 / 95777
↖ ↑ ↗
← S 63.588897°
E 15.032043°		 ← 135.86 m → S 63.588897°
E 15.034790°		 →
↑
135.83 m
↓
↑
135.83 m
↓
S 63.590119°
E 15.032043°		 ← 135.85 m →
18 453 m²		 S 63.590119°
E 15.034790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541759490966797 y=0.730724334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541759490966797 × 217)
    floor (0.541759490966797 × 131072)
    floor (71009.5)     		tx = 71009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730724334716797 × 217)
    floor (0.730724334716797 × 131072)
    floor (95777.5)     		ty = 95777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71009 / 95777 ti = "17/71009/95777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71009/95777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71009 ÷ 217
    71009 ÷ 131072     		x = 0.541755676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95777 ÷ 217
    95777 ÷ 131072     		y = 0.730720520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541755676269531 × 2 - 1) × π
    0.0835113525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26235865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730720520019531 × 2 - 1) × π
    -0.461441040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.44965978141012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26235865} λ = 0.26235865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44965978141012))-π/2
    2×atan(0.234650106843582)-π/2
    2×0.230480353010903-π/2
    0.460960706021807-1.57079632675     		φ = -1.10983562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26235865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.032043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10983562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.588897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71009 KachelY 95777 0.26235865 -1.10983562 15.032043 -63.588897
    Oben rechts KachelX + 1 71010 KachelY 95777 0.26240659 -1.10983562 15.034790 -63.588897
    Unten links KachelX 71009 KachelY + 1 95778 0.26235865 -1.10985694 15.032043 -63.590119
    Unten rechts KachelX + 1 71010 KachelY + 1 95778 0.26240659 -1.10985694 15.034790 -63.590119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10983562--1.10985694) × R
    2.13200000001024e-05 × 6371000     		dl = 135.829720000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10983562--1.10985694) × R
    2.13200000001024e-05 × 6371000     		dr = 135.829720000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26235865-0.26240659) × cos(-1.10983562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444808745683444 × 6371000     		do = 135.856040308749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26235865-0.26240659) × cos(-1.10985694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444789650844985 × 6371000     		du = 135.850208253582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10983562)-sin(-1.10985694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444808745683444-0.444789650844985)×R²
    abs(0.26240659-0.26235865)×1.90948384590217e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90948384590217e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90948384590217e-05×40589641000000     		ar = 18452.8918329514m²