Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71008 / 96096
↖ ↑ ↗
← S 63.975961°
E 15.029297°		 ← 134 m → S 63.975961°
E 15.032043°		 →
↑
133.98 m
↓
↑
133.98 m
↓
S 63.977166°
E 15.029297°		 ← 134 m →
17 954 m²		 S 63.977166°
E 15.032043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541751861572266 y=0.733158111572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541751861572266 × 217)
    floor (0.541751861572266 × 131072)
    floor (71008.5)     		tx = 71008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733158111572266 × 217)
    floor (0.733158111572266 × 131072)
    floor (96096.5)     		ty = 96096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71008 / 96096 ti = "17/71008/96096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71008/96096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71008 ÷ 217
    71008 ÷ 131072     		x = 0.541748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96096 ÷ 217
    96096 ÷ 131072     		y = 0.733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541748046875 × 2 - 1) × π
    0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.46630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46495165238892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26231071} λ = 0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46495165238892))-π/2
    2×atan(0.231089163816268)-π/2
    2×0.227102583410416-π/2
    0.454205166820833-1.57079632675     		φ = -1.11659116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11659116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.975961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71008 KachelY 96096 0.26231071 -1.11659116 15.029297 -63.975961
    Oben rechts KachelX + 1 71009 KachelY 96096 0.26235865 -1.11659116 15.032043 -63.975961
    Unten links KachelX 71008 KachelY + 1 96097 0.26231071 -1.11661219 15.029297 -63.977166
    Unten rechts KachelX + 1 71009 KachelY + 1 96097 0.26235865 -1.11661219 15.032043 -63.977166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11659116--1.11661219) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dl = 133.982129999149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11659116--1.11661219) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dr = 133.982129999149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26231071-0.26235865) × cos(-1.11659116) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438748207371673 × 6371000     		do = 134.004995910234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26231071-0.26235865) × cos(-1.11661219) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438729309505436 × 6371000     		du = 133.999224015454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11659116)-sin(-1.11661219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438748207371673-0.438729309505436)×R²
    abs(0.26235865-0.26231071)×1.88978662368222e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88978662368222e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88978662368222e-05×40589641000000     		ar = 17953.8881179103m²