Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71005 / 96426
↖ ↑ ↗
← S 64.370814°
E 15.021057°		 ← 132.11 m → S 64.370814°
E 15.023804°		 →
↑
132.13 m
↓
↑
132.13 m
↓
S 64.372002°
E 15.021057°		 ← 132.10 m →
17 456 m²		 S 64.372002°
E 15.023804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541728973388672 y=0.735675811767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541728973388672 × 217)
    floor (0.541728973388672 × 131072)
    floor (71005.5)     		tx = 71005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735675811767578 × 217)
    floor (0.735675811767578 × 131072)
    floor (96426.5)     		ty = 96426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71005 / 96426 ti = "17/71005/96426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71005/96426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71005 ÷ 217
    71005 ÷ 131072     		x = 0.541725158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96426 ÷ 217
    96426 ÷ 131072     		y = 0.735671997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541725158691406 × 2 - 1) × π
    0.0834503173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26216690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735671997070312 × 2 - 1) × π
    -0.471343994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48077082926353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26216690} λ = 0.26216690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48077082926353))-π/2
    2×atan(0.227462286203375)-π/2
    2×0.223656842325592-π/2
    0.447313684651184-1.57079632675     		φ = -1.12348264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26216690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.021057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12348264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.370814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71005 KachelY 96426 0.26216690 -1.12348264 15.021057 -64.370814
    Oben rechts KachelX + 1 71006 KachelY 96426 0.26221484 -1.12348264 15.023804 -64.370814
    Unten links KachelX 71005 KachelY + 1 96427 0.26216690 -1.12350338 15.021057 -64.372002
    Unten rechts KachelX + 1 71006 KachelY + 1 96427 0.26221484 -1.12350338 15.023804 -64.372002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12348264--1.12350338) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dl = 132.134540000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12348264--1.12350338) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dr = 132.134540000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26216690-0.26221484) × cos(-1.12348264) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432545084663603 × 6371000     		do = 132.11040256681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26216690-0.26221484) × cos(-1.12350338) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432526385131355 × 6371000     		du = 132.104691248335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12348264)-sin(-1.12350338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432545084663603-0.432526385131355)×R²
    abs(0.26221484-0.26216690)×1.86995322474237e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86995322474237e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86995322474237e-05×40589641000000     		ar = 17455.9699416744m²