Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7100 / 1141
↖ ↑ ↗
← N 78.161570°
E132.011719°		 ← 1 002.48 m → N 78.161570°
E132.055664°		 →
↑
1 002.86 m
↓
↑
1 002.86 m
↓
N 78.152551°
E132.011719°		 ← 1 003.23 m →
1 005 720 m²		 N 78.152551°
E132.055664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.86676025390625 y=0.13934326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.86676025390625 × 213)
    floor (0.86676025390625 × 8192)
    floor (7100.5)     		tx = 7100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13934326171875 × 213)
    floor (0.13934326171875 × 8192)
    floor (1141.5)     		ty = 1141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7100 / 1141 ti = "13/7100/1141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7100/1141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7100 ÷ 213
    7100 ÷ 8192     		x = 0.86669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1141 ÷ 213
    1141 ÷ 8192     		y = 0.1392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86669921875 × 2 - 1) × π
    0.7333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30403914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1392822265625 × 2 - 1) × π
    0.721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26645661403625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30403914} λ = 2.30403914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26645661403625))-π/2
    2×atan(9.64516365464815)-π/2
    2×1.46748653712226-π/2
    2.93497307424453-1.57079632675     		φ = 1.36417675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30403914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36417675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.161570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7100 KachelY 1141 2.30403914 1.36417675 132.011719 78.161570
    Oben rechts KachelX + 1 7101 KachelY 1141 2.30480613 1.36417675 132.055664 78.161570
    Unten links KachelX 7100 KachelY + 1 1142 2.30403914 1.36401934 132.011719 78.152551
    Unten rechts KachelX + 1 7101 KachelY + 1 1142 2.30480613 1.36401934 132.055664 78.152551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36417675-1.36401934) × R
    0.000157409999999913 × 6371000     		dl = 1002.85910999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36417675-1.36401934) × R
    0.000157409999999913 × 6371000     		dr = 1002.85910999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30403914-2.30480613) × cos(1.36417675) × R
    0.000766989999999801 × 0.205152556681664 × 6371000     		do = 1002.47659165104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30403914-2.30480613) × cos(1.36401934) × R
    0.000766989999999801 × 0.205306616029956 × 6371000     		du = 1003.22940162272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36417675)-sin(1.36401934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205152556681664-0.205306616029956)×R²
    abs(2.30480613-2.30403914)×0.000154059348291519×R²
    0.000766989999999801×0.000154059348291519×6371000²
    0.000766989999999801×0.000154059348291519×40589641000000     		ar = 1005720.26574592m²