Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7100 / 10686
↖ ↑ ↗
← S 47.960503°
W 23.994141°		 ← 1 636.12 m → S 47.960503°
W 23.972168°		 →
↑
1 635.88 m
↓
↑
1 635.88 m
↓
S 47.975214°
W 23.994141°		 ← 1 635.66 m →
2 676 124 m²		 S 47.975214°
W 23.972168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433380126953125 y=0.652252197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433380126953125 × 214)
    floor (0.433380126953125 × 16384)
    floor (7100.5)     		tx = 7100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652252197265625 × 214)
    floor (0.652252197265625 × 16384)
    floor (10686.5)     		ty = 10686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7100 / 10686 ti = "14/7100/10686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7100/10686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7100 ÷ 214
    7100 ÷ 16384     		x = 0.433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10686 ÷ 214
    10686 ÷ 16384     		y = 0.6522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433349609375 × 2 - 1) × π
    -0.13330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41877676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.95643702121936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41877676} λ = -0.41877676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95643702121936))-π/2
    2×atan(0.384259558469844)-π/2
    2×0.366863824608014-π/2
    0.733727649216028-1.57079632675     		φ = -0.83706868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41877676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83706868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.960503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7100 KachelY 10686 -0.41877676 -0.83706868 -23.994141 -47.960503
    Oben rechts KachelX + 1 7101 KachelY 10686 -0.41839326 -0.83706868 -23.972168 -47.960503
    Unten links KachelX 7100 KachelY + 1 10687 -0.41877676 -0.83732545 -23.994141 -47.975214
    Unten rechts KachelX + 1 7101 KachelY + 1 10687 -0.41839326 -0.83732545 -23.972168 -47.975214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83706868--0.83732545) × R
    0.000256770000000017 × 6371000     		dl = 1635.88167000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83706868--0.83732545) × R
    0.000256770000000017 × 6371000     		dr = 1635.88167000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41877676--0.41839326) × cos(-0.83706868) × R
    0.000383500000000037 × 0.669642742354945 × 6371000     		do = 1636.12371507703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41877676--0.41839326) × cos(-0.83732545) × R
    0.000383500000000037 × 0.669452021471425 × 6371000     		du = 1635.65773084283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83706868)-sin(-0.83732545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669642742354945-0.669452021471425)×R²
    abs(-0.41839326--0.41877676)×0.00019072088351979×R²
    0.000383500000000037×0.00019072088351979×6371000²
    0.000383500000000037×0.00019072088351979×40589641000000     		ar = 2676123.66251666m²