Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 710 / 1483
↖ ↑ ↗
← S 62.512318°
W 55.195312°		 ← 9 021.60 m → S 62.512318°
W 55.019531°		 →
↑
9 009.36 m
↓
↑
9 009.36 m
↓
S 62.593341°
W 55.195312°		 ← 8 997.07 m →
81 168 333 m²		 S 62.593341°
W 55.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346923828125 y=0.724365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346923828125 × 211)
    floor (0.346923828125 × 2048)
    floor (710.5)     		tx = 710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724365234375 × 211)
    floor (0.724365234375 × 2048)
    floor (1483.5)     		ty = 1483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 710 / 1483 ti = "11/710/1483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/710/1483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 710 ÷ 211
    710 ÷ 2048     		x = 0.3466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1483 ÷ 211
    1483 ÷ 2048     		y = 0.72412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3466796875 × 2 - 1) × π
    -0.306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96333993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72412109375 × 2 - 1) × π
    -0.4482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40819436323877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96333993} λ = -0.96333993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40819436323877))-π/2
    2×atan(0.244584515473275)-π/2
    2×0.239875277867554-π/2
    0.479750555735108-1.57079632675     		φ = -1.09104577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96333993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09104577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.512318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 710 KachelY 1483 -0.96333993 -1.09104577 -55.195312 -62.512318
    Oben rechts KachelX + 1 711 KachelY 1483 -0.96027197 -1.09104577 -55.019531 -62.512318
    Unten links KachelX 710 KachelY + 1 1484 -0.96333993 -1.09245989 -55.195312 -62.593341
    Unten rechts KachelX + 1 711 KachelY + 1 1484 -0.96027197 -1.09245989 -55.019531 -62.593341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09104577--1.09245989) × R
    0.00141411999999996 × 6371000     		dl = 9009.35851999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09104577--1.09245989) × R
    0.00141411999999996 × 6371000     		dr = 9009.35851999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96333993--0.96027197) × cos(-1.09104577) × R
    0.00306795999999998 × 0.461557906320937 × 6371000     		do = 9021.59844873478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96333993--0.96027197) × cos(-1.09245989) × R
    0.00306795999999998 × 0.460302965131908 × 6371000     		du = 8997.06940193663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09104577)-sin(-1.09245989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461557906320937-0.460302965131908)×R²
    abs(-0.96027197--0.96333993)×0.0012549411890293×R²
    0.00306795999999998×0.0012549411890293×6371000²
    0.00306795999999998×0.0012549411890293×40589641000000     		ar = 81168332.886011m²