Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 71 / 35
↖ ↑ ↗
← N 82.402423°
W130.078125°		 ← 10.337 km → N 82.402423°
W129.375000°		 →
↑
10.400 km
↓
↑
10.400 km
↓
N 82.308893°
W130.078125°		 ← 10.464 km →
108.165 km²		 N 82.308893°
W129.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1396484375 y=0.0693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1396484375 × 29)
    floor (0.1396484375 × 512)
    floor (71.5)     		tx = 71
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0693359375 × 29)
    floor (0.0693359375 × 512)
    floor (35.5)     		ty = 35
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 71 / 35 ti = "9/71/35"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/71/35.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71 ÷ 29
    71 ÷ 512     		x = 0.138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35 ÷ 29
    35 ÷ 512     		y = 0.068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138671875 × 2 - 1) × π
    -0.72265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27029157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.068359375 × 2 - 1) × π
    0.86328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.7120780329043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27029157} λ = -2.27029157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7120780329043))-π/2
    2×atan(15.0605393162767)-π/2
    2×1.50449496406133-π/2
    3.00898992812266-1.57079632675     		φ = 1.43819360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27029157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43819360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.402423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71 KachelY 35 -2.27029157 1.43819360 -130.078125 82.402423
    Oben rechts KachelX + 1 72 KachelY 35 -2.25801972 1.43819360 -129.375000 82.402423
    Unten links KachelX 71 KachelY + 1 36 -2.27029157 1.43656118 -130.078125 82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 72 KachelY + 1 36 -2.25801972 1.43656118 -129.375000 82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43819360-1.43656118) × R
    0.00163241999999997 × 6371000     		dl = 10400.1478199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43819360-1.43656118) × R
    0.00163241999999997 × 6371000     		dr = 10400.1478199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27029157--2.25801972) × cos(1.43819360) × R
    0.0122718499999999 × 0.132214465332803 × 6371000     		do = 10337.0499864184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27029157--2.25801972) × cos(1.43656118) × R
    0.0122718499999999 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 10463.5447727511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43819360)-sin(1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132214465332803-0.133832377654437)×R²
    abs(-2.25801972--2.27029157)×0.00161791232163425×R²
    0.0122718499999999×0.00161791232163425×6371000²
    0.0122718499999999×0.00161791232163425×40589641000000     		ar = 108164654.139313m²