Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70984 / 62808
↖ ↑ ↗
← N  7.471411°
E 14.963379°		 ← 302.83 m → N  7.471411°
E 14.966126°		 →
↑
302.81 m
↓
↑
302.81 m
↓
N  7.468688°
E 14.963379°		 ← 302.83 m →
91 702 m²		 N  7.468688°
E 14.966126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541568756103516 y=0.479190826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541568756103516 × 217)
    floor (0.541568756103516 × 131072)
    floor (70984.5)     		tx = 70984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479190826416016 × 217)
    floor (0.479190826416016 × 131072)
    floor (62808.5)     		ty = 62808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70984 / 62808 ti = "17/70984/62808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70984/62808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70984 ÷ 217
    70984 ÷ 131072     		x = 0.54156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62808 ÷ 217
    62808 ÷ 131072     		y = 0.47918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54156494140625 × 2 - 1) × π
    0.0831298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26116023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47918701171875 × 2 - 1) × π
    0.0416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.130771862163513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26116023} λ = 0.26116023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.130771862163513))-π/2
    2×atan(1.13970774119232)-π/2
    2×0.850598523455728-π/2
    1.70119704691146-1.57079632675     		φ = 0.13040072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26116023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.963379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13040072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.471411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70984 KachelY 62808 0.26116023 0.13040072 14.963379 7.471411
    Oben rechts KachelX + 1 70985 KachelY 62808 0.26120817 0.13040072 14.966126 7.471411
    Unten links KachelX 70984 KachelY + 1 62809 0.26116023 0.13035319 14.963379 7.468688
    Unten rechts KachelX + 1 70985 KachelY + 1 62809 0.26120817 0.13035319 14.966126 7.468688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13040072-0.13035319) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dl = 302.813629999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13040072-0.13035319) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dr = 302.813629999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26116023-0.26120817) × cos(0.13040072) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99150986711177 × 6371000     		do = 302.832634880066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26116023-0.26120817) × cos(0.13035319) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991516046387619 × 6371000     		du = 302.834522189965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13040072)-sin(0.13035319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99150986711177-0.991516046387619)×R²
    abs(0.26120817-0.26116023)×6.17927584833922e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.17927584833922e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.17927584833922e-06×40589641000000     		ar = 91702.1352193517m²