Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7097 / 9240
↖ ↑ ↗
← N 78.034688°
W141.015015°		 ← 126.63 m → N 78.034688°
W141.009522°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
N 78.033549°
W141.015015°		 ← 126.64 m →
16 039 m²		 N 78.033549°
W141.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108299255371094 y=0.140998840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108299255371094 × 216)
    floor (0.108299255371094 × 65536)
    floor (7097.5)     		tx = 7097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140998840332031 × 216)
    floor (0.140998840332031 × 65536)
    floor (9240.5)     		ty = 9240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7097 / 9240 ti = "16/7097/9240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7097/9240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7097 ÷ 216
    7097 ÷ 65536     		x = 0.108291625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9240 ÷ 216
    9240 ÷ 65536     		y = 0.1409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108291625976562 × 2 - 1) × π
    -0.783416748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46117630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1409912109375 × 2 - 1) × π
    0.718017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25571874852136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46117630} λ = -2.46117630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25571874852136))-π/2
    2×atan(9.54214925166795)-π/2
    2×1.46637927957052-π/2
    2.93275855914104-1.57079632675     		φ = 1.36196223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46117630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.015015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36196223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.034688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7097 KachelY 9240 -2.46117630 1.36196223 -141.015015 78.034688
    Oben rechts KachelX + 1 7098 KachelY 9240 -2.46108043 1.36196223 -141.009522 78.034688
    Unten links KachelX 7097 KachelY + 1 9241 -2.46117630 1.36194235 -141.015015 78.033549
    Unten rechts KachelX + 1 7098 KachelY + 1 9241 -2.46108043 1.36194235 -141.009522 78.033549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36196223-1.36194235) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36196223-1.36194235) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46117630--2.46108043) × cos(1.36196223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207319469043359 × 6371000     		do = 126.628196174575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46117630--2.46108043) × cos(1.36194235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207338917075475 × 6371000     		du = 126.640074794742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36196223)-sin(1.36194235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207319469043359-0.207338917075475)×R²
    abs(-2.46108043--2.46117630)×1.94480321155932e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94480321155932e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94480321155932e-05×40589641000000     		ar = 16038.9072146993m²