Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7097 / 5577
↖ ↑ ↗
← N 49.710273°
W 24.060059°		 ← 1 579.91 m → N 49.710273°
W 24.038086°		 →
↑
1 580.20 m
↓
↑
1 580.20 m
↓
N 49.696062°
W 24.060059°		 ← 1 580.37 m →
2 496 941 m²		 N 49.696062°
W 24.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433197021484375 y=0.340423583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433197021484375 × 214)
    floor (0.433197021484375 × 16384)
    floor (7097.5)     		tx = 7097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340423583984375 × 214)
    floor (0.340423583984375 × 16384)
    floor (5577.5)     		ty = 5577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7097 / 5577 ti = "14/7097/5577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7097/5577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7097 ÷ 214
    7097 ÷ 16384     		x = 0.43316650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5577 ÷ 214
    5577 ÷ 16384     		y = 0.34039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43316650390625 × 2 - 1) × π
    -0.1336669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41992724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34039306640625 × 2 - 1) × π
    0.3192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00283994005157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41992724} λ = -0.41992724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00283994005157))-π/2
    2×atan(2.72601255810367)-π/2
    2×1.21920212769898-π/2
    2.43840425539797-1.57079632675     		φ = 0.86760793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41992724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.060059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86760793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.710273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7097 KachelY 5577 -0.41992724 0.86760793 -24.060059 49.710273
    Oben rechts KachelX + 1 7098 KachelY 5577 -0.41954375 0.86760793 -24.038086 49.710273
    Unten links KachelX 7097 KachelY + 1 5578 -0.41992724 0.86735990 -24.060059 49.696062
    Unten rechts KachelX + 1 7098 KachelY + 1 5578 -0.41954375 0.86735990 -24.038086 49.696062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86760793-0.86735990) × R
    0.000248030000000066 × 6371000     		dl = 1580.19913000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86760793-0.86735990) × R
    0.000248030000000066 × 6371000     		dr = 1580.19913000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41992724--0.41954375) × cos(0.86760793) × R
    0.000383489999999986 × 0.646653028969264 × 6371000     		do = 1579.91224437595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41992724--0.41954375) × cos(0.86735990) × R
    0.000383489999999986 × 0.646842202461983 × 6371000     		du = 1580.37443585124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86760793)-sin(0.86735990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646653028969264-0.646842202461983)×R²
    abs(-0.41954375--0.41992724)×0.000189173492718964×R²
    0.000383489999999986×0.000189173492718964×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189173492718964×40589641000000     		ar = 2496941.14412395m²