Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7097 / 2250
↖ ↑ ↗
← N 78.304955°
W 24.060059°		 ← 495.25 m → N 78.304955°
W 24.038086°		 →
↑
495.35 m
↓
↑
495.35 m
↓
N 78.300501°
W 24.060059°		 ← 495.43 m →
245 364 m²		 N 78.300501°
W 24.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433197021484375 y=0.137359619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433197021484375 × 214)
    floor (0.433197021484375 × 16384)
    floor (7097.5)     		tx = 7097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137359619140625 × 214)
    floor (0.137359619140625 × 16384)
    floor (2250.5)     		ty = 2250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7097 / 2250 ti = "14/7097/2250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7097/2250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7097 ÷ 214
    7097 ÷ 16384     		x = 0.43316650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2250 ÷ 214
    2250 ÷ 16384     		y = 0.1373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43316650390625 × 2 - 1) × π
    -0.1336669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41992724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1373291015625 × 2 - 1) × π
    0.725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27872846033899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41992724} λ = -0.41992724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27872846033899))-π/2
    2×atan(9.76425687281887)-π/2
    2×1.46873780670998-π/2
    2.93747561341997-1.57079632675     		φ = 1.36667929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41992724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.060059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36667929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.304955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7097 KachelY 2250 -0.41992724 1.36667929 -24.060059 78.304955
    Oben rechts KachelX + 1 7098 KachelY 2250 -0.41954375 1.36667929 -24.038086 78.304955
    Unten links KachelX 7097 KachelY + 1 2251 -0.41992724 1.36660154 -24.060059 78.300501
    Unten rechts KachelX + 1 7098 KachelY + 1 2251 -0.41954375 1.36660154 -24.038086 78.300501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36667929-1.36660154) × R
    7.77499999999876e-05 × 6371000     		dl = 495.345249999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36667929-1.36660154) × R
    7.77499999999876e-05 × 6371000     		dr = 495.345249999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41992724--0.41954375) × cos(1.36667929) × R
    0.000383489999999986 × 0.202702605839304 × 6371000     		do = 495.24600455811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41992724--0.41954375) × cos(1.36660154) × R
    0.000383489999999986 × 0.202778741163388 × 6371000     		du = 495.432019507954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36667929)-sin(1.36660154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202702605839304-0.202778741163388)×R²
    abs(-0.41954375--0.41992724)×7.61353240844032e-05×R²
    0.000383489999999986×7.61353240844032e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.61353240844032e-05×40589641000000     		ar = 245363.826872936m²