Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70960 / 62830
↖ ↑ ↗
← N  7.411495°
E 14.897461°		 ← 302.87 m → N  7.411495°
E 14.900207°		 →
↑
302.88 m
↓
↑
302.88 m
↓
N  7.408771°
E 14.897461°		 ← 302.88 m →
91 734 m²		 N  7.408771°
E 14.900207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541385650634766 y=0.479358673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541385650634766 × 217)
    floor (0.541385650634766 × 131072)
    floor (70960.5)     		tx = 70960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479358673095703 × 217)
    floor (0.479358673095703 × 131072)
    floor (62830.5)     		ty = 62830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70960 / 62830 ti = "17/70960/62830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70960/62830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70960 ÷ 217
    70960 ÷ 131072     		x = 0.5413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62830 ÷ 217
    62830 ÷ 131072     		y = 0.479354858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5413818359375 × 2 - 1) × π
    0.082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26000974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479354858398438 × 2 - 1) × π
    0.041290283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.129717250371872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26000974} λ = 0.26000974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.129717250371872))-π/2
    2×atan(1.1385064255416)-π/2
    2×0.850075658702216-π/2
    1.70015131740443-1.57079632675     		φ = 0.12935499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26000974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.897461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12935499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.411495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70960 KachelY 62830 0.26000974 0.12935499 14.897461 7.411495
    Oben rechts KachelX + 1 70961 KachelY 62830 0.26005768 0.12935499 14.900207 7.411495
    Unten links KachelX 70960 KachelY + 1 62831 0.26000974 0.12930745 14.897461 7.408771
    Unten rechts KachelX + 1 70961 KachelY + 1 62831 0.26005768 0.12930745 14.900207 7.408771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12935499-0.12930745) × R
    4.75400000000126e-05 × 6371000     		dl = 302.87734000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12935499-0.12930745) × R
    4.75400000000126e-05 × 6371000     		dr = 302.87734000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26000974-0.26005768) × cos(0.12935499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991645302763664 × 6371000     		do = 302.874000414268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26000974-0.26005768) × cos(0.12930745) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991651434043906 × 6371000     		du = 302.875873065073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12935499)-sin(0.12930745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991645302763664-0.991651434043906)×R²
    abs(0.26005768-0.26000974)×6.13128024196108e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.13128024196108e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.13128024196108e-06×40589641000000     		ar = 91733.9552097166m²