Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7096 / 5578
↖ ↑ ↗
← N 49.696062°
W 24.082031°		 ← 1 580.42 m → N 49.696062°
W 24.060059°		 →
↑
1 580.58 m
↓
↑
1 580.58 m
↓
N 49.681847°
W 24.082031°		 ← 1 580.88 m →
2 498 341 m²		 N 49.681847°
W 24.060059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433135986328125 y=0.340484619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433135986328125 × 214)
    floor (0.433135986328125 × 16384)
    floor (7096.5)     		tx = 7096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340484619140625 × 214)
    floor (0.340484619140625 × 16384)
    floor (5578.5)     		ty = 5578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7096 / 5578 ti = "14/7096/5578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7096/5578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7096 ÷ 214
    7096 ÷ 16384     		x = 0.43310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5578 ÷ 214
    5578 ÷ 16384     		y = 0.3404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43310546875 × 2 - 1) × π
    -0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3404541015625 × 2 - 1) × π
    0.319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00245644485461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42031074} λ = -0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00245644485461))-π/2
    2×atan(2.72496734581054)-π/2
    2×1.21907811539729-π/2
    2.43815623079457-1.57079632675     		φ = 0.86735990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86735990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.696062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7096 KachelY 5578 -0.42031074 0.86735990 -24.082031 49.696062
    Oben rechts KachelX + 1 7097 KachelY 5578 -0.41992724 0.86735990 -24.060059 49.696062
    Unten links KachelX 7096 KachelY + 1 5579 -0.42031074 0.86711181 -24.082031 49.681847
    Unten rechts KachelX + 1 7097 KachelY + 1 5579 -0.41992724 0.86711181 -24.060059 49.681847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86735990-0.86711181) × R
    0.000248089999999923 × 6371000     		dl = 1580.58138999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86735990-0.86711181) × R
    0.000248089999999923 × 6371000     		dr = 1580.58138999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42031074--0.41992724) × cos(0.86735990) × R
    0.000383500000000037 × 0.646842202461983 × 6371000     		do = 1580.41564616816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42031074--0.41992724) × cos(0.86711181) × R
    0.000383500000000037 × 0.647031381909497 × 6371000     		du = 1580.87786424491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86735990)-sin(0.86711181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646842202461983-0.647031381909497)×R²
    abs(-0.41992724--0.42031074)×0.000189179447513954×R²
    0.000383500000000037×0.000189179447513954×6371000²
    0.000383500000000037×0.000189179447513954×40589641000000     		ar = 2498340.85825539m²