Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70958 / 62831
↖ ↑ ↗
← N  7.408771°
E 14.891968°		 ← 302.88 m → N  7.408771°
E 14.894715°		 →
↑
302.81 m
↓
↑
302.81 m
↓
N  7.406048°
E 14.891968°		 ← 302.88 m →
91 715 m²		 N  7.406048°
E 14.894715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541370391845703 y=0.479366302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541370391845703 × 217)
    floor (0.541370391845703 × 131072)
    floor (70958.5)     		tx = 70958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479366302490234 × 217)
    floor (0.479366302490234 × 131072)
    floor (62831.5)     		ty = 62831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70958 / 62831 ti = "17/70958/62831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70958/62831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70958 ÷ 217
    70958 ÷ 131072     		x = 0.541366577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62831 ÷ 217
    62831 ÷ 131072     		y = 0.479362487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541366577148438 × 2 - 1) × π
    0.082733154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25991387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479362487792969 × 2 - 1) × π
    0.0412750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.129669313472252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25991387} λ = 0.25991387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.129669313472252))-π/2
    2×atan(1.13845185038146)-π/2
    2×0.850051890428071-π/2
    1.70010378085614-1.57079632675     		φ = 0.12930745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25991387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.891968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12930745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.408771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70958 KachelY 62831 0.25991387 0.12930745 14.891968 7.408771
    Oben rechts KachelX + 1 70959 KachelY 62831 0.25996181 0.12930745 14.894715 7.408771
    Unten links KachelX 70958 KachelY + 1 62832 0.25991387 0.12925992 14.891968 7.406048
    Unten rechts KachelX + 1 70959 KachelY + 1 62832 0.25996181 0.12925992 14.894715 7.406048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12930745-0.12925992) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dl = 302.813629999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12930745-0.12925992) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dr = 302.813629999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25991387-0.25996181) × cos(0.12930745) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991651434043906 × 6371000     		do = 302.875873065073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25991387-0.25996181) × cos(0.12925992) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991657561793962 × 6371000     		du = 302.877744637669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12930745)-sin(0.12925992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991651434043906-0.991657561793962)×R²
    abs(0.25996181-0.25991387)×6.12775005581767e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.12775005581767e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.12775005581767e-06×40589641000000     		ar = 91715.2259483507m²