Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70951 / 62770
↖ ↑ ↗
← N  7.574882°
E 14.872742°		 ← 302.76 m → N  7.574882°
E 14.875488°		 →
↑
302.75 m
↓
↑
302.75 m
↓
N  7.572160°
E 14.872742°		 ← 302.76 m →
91 661 m²		 N  7.572160°
E 14.875488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541316986083984 y=0.478900909423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541316986083984 × 217)
    floor (0.541316986083984 × 131072)
    floor (70951.5)     		tx = 70951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478900909423828 × 217)
    floor (0.478900909423828 × 131072)
    floor (62770.5)     		ty = 62770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70951 / 62770 ti = "17/70951/62770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70951/62770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70951 ÷ 217
    70951 ÷ 131072     		x = 0.541313171386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62770 ÷ 217
    62770 ÷ 131072     		y = 0.478897094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541313171386719 × 2 - 1) × π
    0.0826263427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25957831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478897094726562 × 2 - 1) × π
    0.042205810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.132593464349075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25957831} λ = 0.25957831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.132593464349075))-π/2
    2×atan(1.14178572736205)-π/2
    2×0.851501484290875-π/2
    1.70300296858175-1.57079632675     		φ = 0.13220664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25957831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.872742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13220664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.574882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70951 KachelY 62770 0.25957831 0.13220664 14.872742 7.574882
    Oben rechts KachelX + 1 70952 KachelY 62770 0.25962625 0.13220664 14.875488 7.574882
    Unten links KachelX 70951 KachelY + 1 62771 0.25957831 0.13215912 14.872742 7.572160
    Unten rechts KachelX + 1 70952 KachelY + 1 62771 0.25962625 0.13215912 14.875488 7.572160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13220664-0.13215912) × R
    4.75199999999953e-05 × 6371000     		dl = 302.74991999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13220664-0.13215912) × R
    4.75199999999953e-05 × 6371000     		dr = 302.74991999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25957831-0.25962625) × cos(0.13220664) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991273423977066 × 6371000     		do = 302.760419060681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25957831-0.25962625) × cos(0.13215912) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991279687031934 × 6371000     		du = 302.762331958849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13220664)-sin(0.13215912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991273423977066-0.991279687031934)×R²
    abs(0.25962625-0.25957831)×6.26305486739476e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.26305486739476e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.26305486739476e-06×40589641000000     		ar = 91660.9822319106m²