Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7094 / 9257
↖ ↑ ↗
← N 78.015312°
W141.031494°		 ← 126.83 m → N 78.015312°
W141.026001°		 →
↑
126.85 m
↓
↑
126.85 m
↓
N 78.014171°
W141.031494°		 ← 126.84 m →
16 089 m²		 N 78.014171°
W141.026001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108253479003906 y=0.141258239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108253479003906 × 216)
    floor (0.108253479003906 × 65536)
    floor (7094.5)     		tx = 7094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141258239746094 × 216)
    floor (0.141258239746094 × 65536)
    floor (9257.5)     		ty = 9257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7094 / 9257 ti = "16/7094/9257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7094/9257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7094 ÷ 216
    7094 ÷ 65536     		x = 0.108245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9257 ÷ 216
    9257 ÷ 65536     		y = 0.141250610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108245849609375 × 2 - 1) × π
    -0.78350830078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46146392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141250610351562 × 2 - 1) × π
    0.717498779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25408889393428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46146392} λ = -2.46146392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25408889393428))-π/2
    2×atan(9.52660960306327)-π/2
    2×1.46621019451937-π/2
    2.93242038903874-1.57079632675     		φ = 1.36162406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46146392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.031494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36162406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.015312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7094 KachelY 9257 -2.46146392 1.36162406 -141.031494 78.015312
    Oben rechts KachelX + 1 7095 KachelY 9257 -2.46136805 1.36162406 -141.026001 78.015312
    Unten links KachelX 7094 KachelY + 1 9258 -2.46146392 1.36160415 -141.031494 78.014171
    Unten rechts KachelX + 1 7095 KachelY + 1 9258 -2.46136805 1.36160415 -141.026001 78.014171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36162406-1.36160415) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dl = 126.846610000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36162406-1.36160415) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dr = 126.846610000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46146392--2.46136805) × cos(1.36162406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207650279862468 × 6371000     		do = 126.83025137707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46146392--2.46136805) × cos(1.36160415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207669755845605 × 6371000     		du = 126.842147069379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36162406)-sin(1.36160415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207650279862468-0.207669755845605)×R²
    abs(-2.46136805--2.46146392)×1.9475983136813e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9475983136813e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9475983136813e-05×40589641000000     		ar = 16088.741897242m²