Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7094 / 1162
↖ ↑ ↗
← N 77.970745°
E131.748047°		 ← 1 018.40 m → N 77.970745°
E131.791992°		 →
↑
1 018.79 m
↓
↑
1 018.79 m
↓
N 77.961583°
E131.748047°		 ← 1 019.16 m →
1 037 921 m²		 N 77.961583°
E131.791992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.86602783203125 y=0.14190673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.86602783203125 × 213)
    floor (0.86602783203125 × 8192)
    floor (7094.5)     		tx = 7094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14190673828125 × 213)
    floor (0.14190673828125 × 8192)
    floor (1162.5)     		ty = 1162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7094 / 1162 ti = "13/7094/1162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7094/1162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7094 ÷ 213
    7094 ÷ 8192     		x = 0.865966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1162 ÷ 213
    1162 ÷ 8192     		y = 0.141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865966796875 × 2 - 1) × π
    0.73193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29943720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141845703125 × 2 - 1) × π
    0.71630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25034981576392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29943720} λ = 2.29943720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25034981576392))-π/2
    2×atan(9.49105537649784)-π/2
    2×1.4658212734273-π/2
    2.9316425468546-1.57079632675     		φ = 1.36084622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29943720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.748047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36084622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.970745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7094 KachelY 1162 2.29943720 1.36084622 131.748047 77.970745
    Oben rechts KachelX + 1 7095 KachelY 1162 2.30020419 1.36084622 131.791992 77.970745
    Unten links KachelX 7094 KachelY + 1 1163 2.29943720 1.36068631 131.748047 77.961583
    Unten rechts KachelX + 1 7095 KachelY + 1 1163 2.30020419 1.36068631 131.791992 77.961583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36084622-1.36068631) × R
    0.000159910000000041 × 6371000     		dl = 1018.78661000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36084622-1.36068631) × R
    0.000159910000000041 × 6371000     		dr = 1018.78661000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29943720-2.30020419) × cos(1.36084622) × R
    0.000766990000000245 × 0.208411102489631 × 6371000     		do = 1018.39945387741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29943720-2.30020419) × cos(1.36068631) × R
    0.000766990000000245 × 0.208567498410863 × 6371000     		du = 1019.16368149709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36084622)-sin(1.36068631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208411102489631-0.208567498410863)×R²
    abs(2.30020419-2.29943720)×0.000156395921231678×R²
    0.000766990000000245×0.000156395921231678×6371000²
    0.000766990000000245×0.000156395921231678×40589641000000     		ar = 1037921.02188849m²