Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70937 / 62814
↖ ↑ ↗
← N  7.455071°
E 14.834289°		 ← 302.84 m → N  7.455071°
E 14.837036°		 →
↑
302.88 m
↓
↑
302.88 m
↓
N  7.452347°
E 14.834289°		 ← 302.85 m →
91 725 m²		 N  7.452347°
E 14.837036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541210174560547 y=0.479236602783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541210174560547 × 217)
    floor (0.541210174560547 × 131072)
    floor (70937.5)     		tx = 70937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479236602783203 × 217)
    floor (0.479236602783203 × 131072)
    floor (62814.5)     		ty = 62814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70937 / 62814 ti = "17/70937/62814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70937/62814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70937 ÷ 217
    70937 ÷ 131072     		x = 0.541206359863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62814 ÷ 217
    62814 ÷ 131072     		y = 0.479232788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541206359863281 × 2 - 1) × π
    0.0824127197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25890719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479232788085938 × 2 - 1) × π
    0.041534423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.130484240765793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25890719} λ = 0.25890719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.130484240765793))-π/2
    2×atan(1.13937998399606)-π/2
    2×0.850455931064297-π/2
    1.70091186212859-1.57079632675     		φ = 0.13011554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25890719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.834289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13011554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.455071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70937 KachelY 62814 0.25890719 0.13011554 14.834289 7.455071
    Oben rechts KachelX + 1 70938 KachelY 62814 0.25895513 0.13011554 14.837036 7.455071
    Unten links KachelX 70937 KachelY + 1 62815 0.25890719 0.13006800 14.834289 7.452347
    Unten rechts KachelX + 1 70938 KachelY + 1 62815 0.25895513 0.13006800 14.837036 7.452347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13011554-0.13006800) × R
    4.75400000000126e-05 × 6371000     		dl = 302.87734000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13011554-0.13006800) × R
    4.75400000000126e-05 × 6371000     		dr = 302.87734000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25890719-0.25895513) × cos(0.13011554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.991546909167559 × 6371000     		do = 302.843948477016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25890719-0.25895513) × cos(0.13006800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.991553076300606 × 6371000     		du = 302.84583207819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13011554)-sin(0.13006800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991546909167559-0.991553076300606)×R²
    abs(0.25895513-0.25890719)×6.16713304613103e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.16713304613103e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.16713304613103e-06×40589641000000     		ar = 91724.85481718m²