Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7093 / 1165
↖ ↑ ↗
← N 77.943238°
E131.704102°		 ← 1 020.69 m → N 77.943238°
E131.748047°		 →
↑
1 021.08 m
↓
↑
1 021.08 m
↓
N 77.934055°
E131.704102°		 ← 1 021.46 m →
1 042 601 m²		 N 77.934055°
E131.748047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.86590576171875 y=0.14227294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.86590576171875 × 213)
    floor (0.86590576171875 × 8192)
    floor (7093.5)     		tx = 7093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14227294921875 × 213)
    floor (0.14227294921875 × 8192)
    floor (1165.5)     		ty = 1165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7093 / 1165 ti = "13/7093/1165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7093/1165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7093 ÷ 213
    7093 ÷ 8192     		x = 0.8658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1165 ÷ 213
    1165 ÷ 8192     		y = 0.1422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8658447265625 × 2 - 1) × π
    0.731689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29867021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1422119140625 × 2 - 1) × π
    0.715576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24804884458215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29867021} λ = 2.29867021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24804884458215))-π/2
    2×atan(9.4692418373787)-π/2
    2×1.46558122946464-π/2
    2.93116245892927-1.57079632675     		φ = 1.36036613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29867021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.704102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36036613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.943238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7093 KachelY 1165 2.29867021 1.36036613 131.704102 77.943238
    Oben rechts KachelX + 1 7094 KachelY 1165 2.29943720 1.36036613 131.748047 77.943238
    Unten links KachelX 7093 KachelY + 1 1166 2.29867021 1.36020586 131.704102 77.934055
    Unten rechts KachelX + 1 7094 KachelY + 1 1166 2.29943720 1.36020586 131.748047 77.934055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36036613-1.36020586) × R
    0.000160270000000073 × 6371000     		dl = 1021.08017000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36036613-1.36020586) × R
    0.000160270000000073 × 6371000     		dr = 1021.08017000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29867021-2.29943720) × cos(1.36036613) × R
    0.000766989999999801 × 0.208880626308184 × 6371000     		do = 1020.69377886567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29867021-2.29943720) × cos(1.36020586) × R
    0.000766989999999801 × 0.20903735825219 × 6371000     		du = 1021.45964845839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36036613)-sin(1.36020586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208880626308184-0.20903735825219)×R²
    abs(2.29943720-2.29867021)×0.0001567319440062×R²
    0.000766989999999801×0.0001567319440062×6371000²
    0.000766989999999801×0.0001567319440062×40589641000000     		ar = 1042601.18660365m²