Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70928 / 62790
↖ ↑ ↗
← N  7.520427°
E 14.809570°		 ← 302.80 m → N  7.520427°
E 14.812317°		 →
↑
302.75 m
↓
↑
302.75 m
↓
N  7.517704°
E 14.809570°		 ← 302.80 m →
91 673 m²		 N  7.517704°
E 14.812317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541141510009766 y=0.479053497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541141510009766 × 217)
    floor (0.541141510009766 × 131072)
    floor (70928.5)     		tx = 70928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479053497314453 × 217)
    floor (0.479053497314453 × 131072)
    floor (62790.5)     		ty = 62790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70928 / 62790 ti = "17/70928/62790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70928/62790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70928 ÷ 217
    70928 ÷ 131072     		x = 0.5411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62790 ÷ 217
    62790 ÷ 131072     		y = 0.479049682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5411376953125 × 2 - 1) × π
    0.082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25847576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479049682617188 × 2 - 1) × π
    0.041900634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.131634726356674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25847576} λ = 0.25847576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131634726356674))-π/2
    2×atan(1.14069157859085)-π/2
    2×0.851026268587446-π/2
    1.70205253717489-1.57079632675     		φ = 0.13125621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25847576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.809570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13125621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.520427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70928 KachelY 62790 0.25847576 0.13125621 14.809570 7.520427
    Oben rechts KachelX + 1 70929 KachelY 62790 0.25852370 0.13125621 14.812317 7.520427
    Unten links KachelX 70928 KachelY + 1 62791 0.25847576 0.13120869 14.809570 7.517704
    Unten rechts KachelX + 1 70929 KachelY + 1 62791 0.25852370 0.13120869 14.812317 7.517704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13125621-0.13120869) × R
    4.75200000000231e-05 × 6371000     		dl = 302.749920000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13125621-0.13120869) × R
    4.75200000000231e-05 × 6371000     		dr = 302.749920000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25847576-0.25852370) × cos(0.13125621) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991398263677573 × 6371000     		do = 302.79854831859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25847576-0.25852370) × cos(0.13120869) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991404481959175 × 6371000     		du = 302.80044754185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13125621)-sin(0.13120869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991398263677573-0.991404481959175)×R²
    abs(0.25852370-0.25847576)×6.21828160118909e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.21828160118909e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.21828160118909e-06×40589641000000     		ar = 91672.5237916811m²