Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70924 / 62787
↖ ↑ ↗
← N  7.528596°
E 14.798584°		 ← 302.73 m → N  7.528596°
E 14.801330°		 →
↑
302.75 m
↓
↑
302.75 m
↓
N  7.525873°
E 14.798584°		 ← 302.73 m →
91 652 m²		 N  7.525873°
E 14.801330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541110992431641 y=0.479030609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541110992431641 × 217)
    floor (0.541110992431641 × 131072)
    floor (70924.5)     		tx = 70924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479030609130859 × 217)
    floor (0.479030609130859 × 131072)
    floor (62787.5)     		ty = 62787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70924 / 62787 ti = "17/70924/62787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70924/62787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70924 ÷ 217
    70924 ÷ 131072     		x = 0.541107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62787 ÷ 217
    62787 ÷ 131072     		y = 0.479026794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541107177734375 × 2 - 1) × π
    0.08221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25828402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479026794433594 × 2 - 1) × π
    0.0419464111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.131778537055534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25828402} λ = 0.25828402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131778537055534))-π/2
    2×atan(1.14085563404014)-π/2
    2×0.851097554754903-π/2
    1.70219510950981-1.57079632675     		φ = 0.13139878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25828402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.798584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13139878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.528596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70924 KachelY 62787 0.25828402 0.13139878 14.798584 7.528596
    Oben rechts KachelX + 1 70925 KachelY 62787 0.25833195 0.13139878 14.801330 7.528596
    Unten links KachelX 70924 KachelY + 1 62788 0.25828402 0.13135126 14.798584 7.525873
    Unten rechts KachelX + 1 70925 KachelY + 1 62788 0.25833195 0.13135126 14.801330 7.525873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13139878-0.13135126) × R
    4.75199999999953e-05 × 6371000     		dl = 302.74991999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13139878-0.13135126) × R
    4.75199999999953e-05 × 6371000     		dr = 302.74991999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25828402-0.25833195) × cos(0.13139878) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.991379594090258 × 6371000     		do = 302.729685351812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25828402-0.25833195) × cos(0.13135126) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.991385819088467 × 6371000     		du = 302.731586229902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13139878)-sin(0.13135126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991379594090258-0.991385819088467)×R²
    abs(0.25833195-0.25828402)×6.22499820923661e-06×R²
    4.79299999999738e-05×6.22499820923661e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×6.22499820923661e-06×40589641000000     		ar = 91651.6757844297m²