Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70923 / 62788
↖ ↑ ↗
← N  7.525873°
E 14.795838°		 ← 302.79 m → N  7.525873°
E 14.798584°		 →
↑
302.81 m
↓
↑
302.81 m
↓
N  7.523150°
E 14.795838°		 ← 302.80 m →
91 691 m²		 N  7.523150°
E 14.798584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541103363037109 y=0.479038238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541103363037109 × 217)
    floor (0.541103363037109 × 131072)
    floor (70923.5)     		tx = 70923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479038238525391 × 217)
    floor (0.479038238525391 × 131072)
    floor (62788.5)     		ty = 62788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70923 / 62788 ti = "17/70923/62788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70923/62788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70923 ÷ 217
    70923 ÷ 131072     		x = 0.541099548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62788 ÷ 217
    62788 ÷ 131072     		y = 0.479034423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541099548339844 × 2 - 1) × π
    0.0821990966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25823608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479034423828125 × 2 - 1) × π
    0.04193115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.131730600155914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25823608} λ = 0.25823608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131730600155914))-π/2
    2×atan(1.14080094626892)-π/2
    2×0.851073792848255-π/2
    1.70214758569651-1.57079632675     		φ = 0.13135126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25823608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.795838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13135126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.525873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70923 KachelY 62788 0.25823608 0.13135126 14.795838 7.525873
    Oben rechts KachelX + 1 70924 KachelY 62788 0.25828402 0.13135126 14.798584 7.525873
    Unten links KachelX 70923 KachelY + 1 62789 0.25823608 0.13130373 14.795838 7.523150
    Unten rechts KachelX + 1 70924 KachelY + 1 62789 0.25828402 0.13130373 14.798584 7.523150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13135126-0.13130373) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dl = 302.813629999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13135126-0.13130373) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dr = 302.813629999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25823608-0.25828402) × cos(0.13135126) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991385819088467 × 6371000     		do = 302.794747420753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25823608-0.25828402) × cos(0.13130373) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991392043157246 × 6371000     		du = 302.796648411566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13135126)-sin(0.13130373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991385819088467-0.991392043157246)×R²
    abs(0.25828402-0.25823608)×6.22406877870407e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.22406877870407e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.22406877870407e-06×40589641000000     		ar = 91690.6644516067m²