Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70922 / 62789
↖ ↑ ↗
← N  7.523150°
E 14.793091°		 ← 302.80 m → N  7.523150°
E 14.795838°		 →
↑
302.75 m
↓
↑
302.75 m
↓
N  7.520427°
E 14.793091°		 ← 302.80 m →
91 672 m²		 N  7.520427°
E 14.795838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541095733642578 y=0.479045867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541095733642578 × 217)
    floor (0.541095733642578 × 131072)
    floor (70922.5)     		tx = 70922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479045867919922 × 217)
    floor (0.479045867919922 × 131072)
    floor (62789.5)     		ty = 62789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70922 / 62789 ti = "17/70922/62789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70922/62789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70922 ÷ 217
    70922 ÷ 131072     		x = 0.541091918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62789 ÷ 217
    62789 ÷ 131072     		y = 0.479042053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541091918945312 × 2 - 1) × π
    0.082183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25818814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479042053222656 × 2 - 1) × π
    0.0419158935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.131682663256294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25818814} λ = 0.25818814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131682663256294))-π/2
    2×atan(1.1407462611192)-π/2
    2×0.851050030792419-π/2
    1.70210006158484-1.57079632675     		φ = 0.13130373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25818814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.793091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13130373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.523150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70922 KachelY 62789 0.25818814 0.13130373 14.793091 7.523150
    Oben rechts KachelX + 1 70923 KachelY 62789 0.25823608 0.13130373 14.795838 7.523150
    Unten links KachelX 70922 KachelY + 1 62790 0.25818814 0.13125621 14.793091 7.520427
    Unten rechts KachelX + 1 70923 KachelY + 1 62790 0.25823608 0.13125621 14.795838 7.520427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13130373-0.13125621) × R
    4.75199999999953e-05 × 6371000     		dl = 302.74991999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13130373-0.13125621) × R
    4.75199999999953e-05 × 6371000     		dr = 302.74991999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25818814-0.25823608) × cos(0.13130373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.991392043157246 × 6371000     		do = 302.796648411215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25818814-0.25823608) × cos(0.13125621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.991398263677573 × 6371000     		du = 302.798548318239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13130373)-sin(0.13125621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991392043157246-0.991398263677573)×R²
    abs(0.25823608-0.25818814)×6.22052032761555e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.22052032761555e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.22052032761555e-06×40589641000000     		ar = 91671.948698405m²