Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70921 / 62714
↖ ↑ ↗
← N  7.727322°
E 14.790344°		 ← 302.65 m → N  7.727322°
E 14.793091°		 →
↑
302.62 m
↓
↑
302.62 m
↓
N  7.724600°
E 14.790344°		 ← 302.65 m →
91 590 m²		 N  7.724600°
E 14.793091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541088104248047 y=0.478473663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541088104248047 × 217)
    floor (0.541088104248047 × 131072)
    floor (70921.5)     		tx = 70921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478473663330078 × 217)
    floor (0.478473663330078 × 131072)
    floor (62714.5)     		ty = 62714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70921 / 62714 ti = "17/70921/62714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70921/62714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70921 ÷ 217
    70921 ÷ 131072     		x = 0.541084289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62714 ÷ 217
    62714 ÷ 131072     		y = 0.478469848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541084289550781 × 2 - 1) × π
    0.0821685791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25814020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478469848632812 × 2 - 1) × π
    0.043060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.135277930727798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25814020} λ = 0.25814020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.135277930727798))-π/2
    2×atan(1.14485493050203)-π/2
    2×0.852831767421704-π/2
    1.70566353484341-1.57079632675     		φ = 0.13486721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25814020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.790344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13486721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.727322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70921 KachelY 62714 0.25814020 0.13486721 14.790344 7.727322
    Oben rechts KachelX + 1 70922 KachelY 62714 0.25818814 0.13486721 14.793091 7.727322
    Unten links KachelX 70921 KachelY + 1 62715 0.25814020 0.13481971 14.790344 7.724600
    Unten rechts KachelX + 1 70922 KachelY + 1 62715 0.25818814 0.13481971 14.793091 7.724600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13486721-0.13481971) × R
    4.74999999999781e-05 × 6371000     		dl = 302.622499999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13486721-0.13481971) × R
    4.74999999999781e-05 × 6371000     		dr = 302.622499999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25814020-0.25818814) × cos(0.13486721) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.990919194715521 × 6371000     		do = 302.652228326344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25814020-0.25818814) × cos(0.13481971) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99092558038722 × 6371000     		du = 302.654178674848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13486721)-sin(0.13481971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990919194715521-0.99092558038722)×R²
    abs(0.25818814-0.25814020)×6.38567169841675e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.38567169841675e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.38567169841675e-06×40589641000000     		ar = 91589.6690935239m²