Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7091 / 9267
↖ ↑ ↗
← N 78.003900°
W141.047973°		 ← 126.95 m → N 78.003900°
W141.042481°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
N 78.002758°
W141.047973°		 ← 126.96 m →
16 120 m²		 N 78.002758°
W141.042481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108207702636719 y=0.141410827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108207702636719 × 216)
    floor (0.108207702636719 × 65536)
    floor (7091.5)     		tx = 7091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141410827636719 × 216)
    floor (0.141410827636719 × 65536)
    floor (9267.5)     		ty = 9267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7091 / 9267 ti = "16/7091/9267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7091/9267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7091 ÷ 216
    7091 ÷ 65536     		x = 0.108200073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9267 ÷ 216
    9267 ÷ 65536     		y = 0.141403198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108200073242188 × 2 - 1) × π
    -0.783599853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46175154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141403198242188 × 2 - 1) × π
    0.717193603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25313015594188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46175154} λ = -2.46175154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25313015594188))-π/2
    2×atan(9.5174804574267)-π/2
    2×1.46611060672343-π/2
    2.93222121344685-1.57079632675     		φ = 1.36142489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46175154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.047973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36142489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.003900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7091 KachelY 9267 -2.46175154 1.36142489 -141.047973 78.003900
    Oben rechts KachelX + 1 7092 KachelY 9267 -2.46165567 1.36142489 -141.042481 78.003900
    Unten links KachelX 7091 KachelY + 1 9268 -2.46175154 1.36140496 -141.047973 78.002758
    Unten rechts KachelX + 1 7092 KachelY + 1 9268 -2.46165567 1.36140496 -141.042481 78.002758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36142489-1.36140496) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dl = 126.974030000716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36142489-1.36140496) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dr = 126.974030000716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46175154--2.46165567) × cos(1.36142489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207845104459744 × 6371000     		do = 126.949247858381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46175154--2.46165567) × cos(1.36140496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207864599182176 × 6371000     		du = 126.961154996422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36142489)-sin(1.36140496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207845104459744-0.207864599182176)×R²
    abs(-2.46165567--2.46175154)×1.94947224322894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94947224322894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94947224322894e-05×40589641000000     		ar = 16120.0135552727m²