Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70901 / 62746
↖ ↑ ↗
← N  7.640220°
E 14.735413°		 ← 302.65 m → N  7.640220°
E 14.738159°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
N  7.637498°
E 14.735413°		 ← 302.65 m →
91 609 m²		 N  7.637498°
E 14.738159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540935516357422 y=0.478717803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540935516357422 × 217)
    floor (0.540935516357422 × 131072)
    floor (70901.5)     		tx = 70901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478717803955078 × 217)
    floor (0.478717803955078 × 131072)
    floor (62746.5)     		ty = 62746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70901 / 62746 ti = "17/70901/62746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70901/62746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70901 ÷ 217
    70901 ÷ 131072     		x = 0.540931701660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62746 ÷ 217
    62746 ÷ 131072     		y = 0.478713989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540931701660156 × 2 - 1) × π
    0.0818634033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25718147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478713989257812 × 2 - 1) × π
    0.042572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.133743949939957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25718147} λ = 0.25718147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133743949939957))-π/2
    2×atan(1.14310009132268)-π/2
    2×0.852071663825041-π/2
    1.70414332765008-1.57079632675     		φ = 0.13334700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25718147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.735413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13334700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.640220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70901 KachelY 62746 0.25718147 0.13334700 14.735413 7.640220
    Oben rechts KachelX + 1 70902 KachelY 62746 0.25722940 0.13334700 14.738159 7.640220
    Unten links KachelX 70901 KachelY + 1 62747 0.25718147 0.13329949 14.735413 7.637498
    Unten rechts KachelX + 1 70902 KachelY + 1 62747 0.25722940 0.13329949 14.738159 7.637498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13334700-0.13329949) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13334700-0.13329949) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25718147-0.25722940) × cos(0.13334700) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.991122455113777 × 6371000     		do = 302.651164871962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25718147-0.25722940) × cos(0.13329949) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.991128770552694 × 6371000     		du = 302.65309336721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13334700)-sin(0.13329949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991122455113777-0.991128770552694)×R²
    abs(0.25722940-0.25718147)×6.31543891727038e-06×R²
    4.79299999999738e-05×6.31543891727038e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×6.31543891727038e-06×40589641000000     		ar = 91608.6259288721m²