Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7090 / 9265
↖ ↑ ↗
← N 78.006184°
W141.053467°		 ← 126.94 m → N 78.006184°
W141.047973°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
N 78.005042°
W141.053467°		 ← 126.95 m →
16 119 m²		 N 78.005042°
W141.047973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108192443847656 y=0.141380310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108192443847656 × 216)
    floor (0.108192443847656 × 65536)
    floor (7090.5)     		tx = 7090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141380310058594 × 216)
    floor (0.141380310058594 × 65536)
    floor (9265.5)     		ty = 9265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7090 / 9265 ti = "16/7090/9265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7090/9265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7090 ÷ 216
    7090 ÷ 65536     		x = 0.108184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9265 ÷ 216
    9265 ÷ 65536     		y = 0.141372680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108184814453125 × 2 - 1) × π
    -0.78363037109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.46184742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141372680664062 × 2 - 1) × π
    0.717254638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25332190354036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46184742} λ = -2.46184742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25332190354036))-π/2
    2×atan(9.51930558642445)-π/2
    2×1.46613053175492-π/2
    2.93226106350985-1.57079632675     		φ = 1.36146474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46184742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36146474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.006184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7090 KachelY 9265 -2.46184742 1.36146474 -141.053467 78.006184
    Oben rechts KachelX + 1 7091 KachelY 9265 -2.46175154 1.36146474 -141.047973 78.006184
    Unten links KachelX 7090 KachelY + 1 9266 -2.46184742 1.36144481 -141.053467 78.005042
    Unten rechts KachelX + 1 7091 KachelY + 1 9266 -2.46175154 1.36144481 -141.047973 78.005042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36146474-1.36144481) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dl = 126.974029999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36146474-1.36144481) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dr = 126.974029999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46184742--2.46175154) × cos(1.36146474) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207806124548917 × 6371000     		do = 126.938678733687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46184742--2.46175154) × cos(1.36144481) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207825619436414 × 6371000     		du = 126.950587214567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36146474)-sin(1.36144481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207806124548917-0.207825619436414)×R²
    abs(-2.46175154--2.46184742)×1.94948874970846e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94948874970846e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94948874970846e-05×40589641000000     		ar = 16118.6716360278m²