Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 709 / 1477
↖ ↑ ↗
← S 62.021528°
W 55.371094°		 ← 9 169.82 m → S 62.021528°
W 55.195312°		 →
↑
9 157.42 m
↓
↑
9 157.42 m
↓
S 62.103883°
W 55.371094°		 ← 9 145 m →
83 858 297 m²		 S 62.103883°
W 55.195312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346435546875 y=0.721435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346435546875 × 211)
    floor (0.346435546875 × 2048)
    floor (709.5)     		tx = 709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721435546875 × 211)
    floor (0.721435546875 × 2048)
    floor (1477.5)     		ty = 1477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 709 / 1477 ti = "11/709/1477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/709/1477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 709 ÷ 211
    709 ÷ 2048     		x = 0.34619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1477 ÷ 211
    1477 ÷ 2048     		y = 0.72119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34619140625 × 2 - 1) × π
    -0.3076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96640790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72119140625 × 2 - 1) × π
    -0.4423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38978659378467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96640790} λ = -0.96640790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38978659378467))-π/2
    2×atan(0.249128464521886)-π/2
    2×0.244158226380983-π/2
    0.488316452761966-1.57079632675     		φ = -1.08247987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96640790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08247987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.021528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 709 KachelY 1477 -0.96640790 -1.08247987 -55.371094 -62.021528
    Oben rechts KachelX + 1 710 KachelY 1477 -0.96333993 -1.08247987 -55.195312 -62.021528
    Unten links KachelX 709 KachelY + 1 1478 -0.96640790 -1.08391723 -55.371094 -62.103883
    Unten rechts KachelX + 1 710 KachelY + 1 1478 -0.96333993 -1.08391723 -55.195312 -62.103883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08247987--1.08391723) × R
    0.00143735999999994 × 6371000     		dl = 9157.42055999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08247987--1.08391723) × R
    0.00143735999999994 × 6371000     		dr = 9157.42055999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96640790--0.96333993) × cos(-1.08247987) × R
    0.00306797000000003 × 0.469139776432619 × 6371000     		do = 9169.82336733562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96640790--0.96333993) × cos(-1.08391723) × R
    0.00306797000000003 × 0.467869925240023 × 6371000     		du = 9145.00280910573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08247987)-sin(-1.08391723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469139776432619-0.467869925240023)×R²
    abs(-0.96333993--0.96640790)×0.00126985119259576×R²
    0.00306797000000003×0.00126985119259576×6371000²
    0.00306797000000003×0.00126985119259576×40589641000000     		ar = 83858297.3281162m²