Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 709 / 1475
↖ ↑ ↗
← S 61.856149°
W 55.371094°		 ← 9 219.61 m → S 61.856149°
W 55.195312°		 →
↑
9 207.11 m
↓
↑
9 207.11 m
↓
S 61.938950°
W 55.371094°		 ← 9 194.69 m →
84 771 303 m²		 S 61.938950°
W 55.195312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346435546875 y=0.720458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346435546875 × 211)
    floor (0.346435546875 × 2048)
    floor (709.5)     		tx = 709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720458984375 × 211)
    floor (0.720458984375 × 2048)
    floor (1475.5)     		ty = 1475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 709 / 1475 ti = "11/709/1475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/709/1475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 709 ÷ 211
    709 ÷ 2048     		x = 0.34619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1475 ÷ 211
    1475 ÷ 2048     		y = 0.72021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34619140625 × 2 - 1) × π
    -0.3076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96640790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72021484375 × 2 - 1) × π
    -0.4404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.3836506706333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96640790} λ = -0.96640790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3836506706333))-π/2
    2×atan(0.250661797029456)-π/2
    2×0.24560143386281-π/2
    0.491202867725619-1.57079632675     		φ = -1.07959346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96640790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07959346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.856149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 709 KachelY 1475 -0.96640790 -1.07959346 -55.371094 -61.856149
    Oben rechts KachelX + 1 710 KachelY 1475 -0.96333993 -1.07959346 -55.195312 -61.856149
    Unten links KachelX 709 KachelY + 1 1476 -0.96640790 -1.08103862 -55.371094 -61.938950
    Unten rechts KachelX + 1 710 KachelY + 1 1476 -0.96333993 -1.08103862 -55.195312 -61.938950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07959346--1.08103862) × R
    0.00144516000000006 × 6371000     		dl = 9207.11436000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07959346--1.08103862) × R
    0.00144516000000006 × 6371000     		dr = 9207.11436000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96640790--0.96333993) × cos(-1.07959346) × R
    0.00306797000000003 × 0.471686876341331 × 6371000     		do = 9219.60907606288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96640790--0.96333993) × cos(-1.08103862) × R
    0.00306797000000003 × 0.470412091102688 × 6371000     		du = 9194.69207678703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07959346)-sin(-1.08103862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471686876341331-0.470412091102688)×R²
    abs(-0.96333993--0.96640790)×0.00127478523864305×R²
    0.00306797000000003×0.00127478523864305×6371000²
    0.00306797000000003×0.00127478523864305×40589641000000     		ar = 84771303.0405388m²