Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7089 / 3665
↖ ↑ ↗
← N 70.013079°
W 24.235840°		 ← 835.10 m → N 70.013079°
W 24.213867°		 →
↑
835.30 m
↓
↑
835.30 m
↓
N 70.005566°
W 24.235840°		 ← 835.41 m →
697 690 m²		 N 70.005566°
W 24.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432708740234375 y=0.223724365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432708740234375 × 214)
    floor (0.432708740234375 × 16384)
    floor (7089.5)     		tx = 7089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223724365234375 × 214)
    floor (0.223724365234375 × 16384)
    floor (3665.5)     		ty = 3665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7089 / 3665 ti = "14/7089/3665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7089/3665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7089 ÷ 214
    7089 ÷ 16384     		x = 0.43267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3665 ÷ 214
    3665 ÷ 16384     		y = 0.22369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22369384765625 × 2 - 1) × π
    0.5526123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73608275663995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42299520} λ = -0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73608275663995))-π/2
    2×atan(5.67506919724323)-π/2
    2×1.39637753108496-π/2
    2.79275506216991-1.57079632675     		φ = 1.22195874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22195874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.013079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7089 KachelY 3665 -0.42299520 1.22195874 -24.235840 70.013079
    Oben rechts KachelX + 1 7090 KachelY 3665 -0.42261171 1.22195874 -24.213867 70.013079
    Unten links KachelX 7089 KachelY + 1 3666 -0.42299520 1.22182763 -24.235840 70.005566
    Unten rechts KachelX + 1 7090 KachelY + 1 3666 -0.42261171 1.22182763 -24.213867 70.005566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22195874-1.22182763) × R
    0.000131110000000101 × 6371000     		dl = 835.301810000643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22195874-1.22182763) × R
    0.000131110000000101 × 6371000     		dr = 835.301810000643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42299520--0.42261171) × cos(1.22195874) × R
    0.000383490000000042 × 0.341805636792932 × 6371000     		do = 835.104587117951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42299520--0.42261171) × cos(1.22182763) × R
    0.000383490000000042 × 0.341928847186946 × 6371000     		du = 835.405616574887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22195874)-sin(1.22182763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341805636792932-0.341928847186946)×R²
    abs(-0.42261171--0.42299520)×0.000123210394013862×R²
    0.000383490000000042×0.000123210394013862×6371000²
    0.000383490000000042×0.000123210394013862×40589641000000     		ar = 697690.099382828m²