Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70886 / 96264
↖ ↑ ↗
← S 64.177679°
E 14.694214°		 ← 133.04 m → S 64.177679°
E 14.696960°		 →
↑
133.03 m
↓
↑
133.03 m
↓
S 64.178876°
E 14.694214°		 ← 133.03 m →
17 697 m²		 S 64.178876°
E 14.696960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540821075439453 y=0.734439849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540821075439453 × 217)
    floor (0.540821075439453 × 131072)
    floor (70886.5)     		tx = 70886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734439849853516 × 217)
    floor (0.734439849853516 × 131072)
    floor (96264.5)     		ty = 96264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70886 / 96264 ti = "17/70886/96264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70886/96264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70886 ÷ 217
    70886 ÷ 131072     		x = 0.540817260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96264 ÷ 217
    96264 ÷ 131072     		y = 0.73443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540817260742188 × 2 - 1) × π
    0.081634521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25646241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.4688720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47300505152509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25646241} λ = 0.25646241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47300505152509))-π/2
    2×atan(0.229235584369728)-π/2
    2×0.225342257154253-π/2
    0.450684514308506-1.57079632675     		φ = -1.12011181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25646241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.694214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12011181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.177679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70886 KachelY 96264 0.25646241 -1.12011181 14.694214 -64.177679
    Oben rechts KachelX + 1 70887 KachelY 96264 0.25651035 -1.12011181 14.696960 -64.177679
    Unten links KachelX 70886 KachelY + 1 96265 0.25646241 -1.12013269 14.694214 -64.178876
    Unten rechts KachelX + 1 70887 KachelY + 1 96265 0.25651035 -1.12013269 14.696960 -64.178876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12011181--1.12013269) × R
    2.08799999998899e-05 × 6371000     		dl = 133.026479999298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12011181--1.12013269) × R
    2.08799999998899e-05 × 6371000     		dr = 133.026479999298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25646241-0.25651035) × cos(-1.12011181) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.435581803323145 × 6371000     		do = 133.037894610573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25646241-0.25651035) × cos(-1.12013269) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.435563008113939 × 6371000     		du = 133.032154069893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12011181)-sin(-1.12013269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435581803323145-0.435563008113939)×R²
    abs(0.25651035-0.25646241)×1.87952092060573e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87952092060573e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87952092060573e-05×40589641000000     		ar = 17697.1810051559m²