Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70880 / 96032
↖ ↑ ↗
← S 63.898731°
E 14.677734°		 ← 134.37 m → S 63.898731°
E 14.680481°		 →
↑
134.36 m
↓
↑
134.36 m
↓
S 63.899939°
E 14.677734°		 ← 134.37 m →
18 055 m²		 S 63.899939°
E 14.680481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540775299072266 y=0.732669830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540775299072266 × 217)
    floor (0.540775299072266 × 131072)
    floor (70880.5)     		tx = 70880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732669830322266 × 217)
    floor (0.732669830322266 × 131072)
    floor (96032.5)     		ty = 96032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70880 / 96032 ti = "17/70880/96032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70880/96032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70880 ÷ 217
    70880 ÷ 131072     		x = 0.540771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96032 ÷ 217
    96032 ÷ 131072     		y = 0.732666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540771484375 × 2 - 1) × π
    0.08154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25617479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.46533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46188369081323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25617479} λ = 0.25617479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46188369081323))-π/2
    2×atan(0.231799225154917)-π/2
    2×0.227776543120856-π/2
    0.455553086241713-1.57079632675     		φ = -1.11524324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25617479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.677734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11524324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.898731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70880 KachelY 96032 0.25617479 -1.11524324 14.677734 -63.898731
    Oben rechts KachelX + 1 70881 KachelY 96032 0.25622273 -1.11524324 14.680481 -63.898731
    Unten links KachelX 70880 KachelY + 1 96033 0.25617479 -1.11526433 14.677734 -63.899939
    Unten rechts KachelX + 1 70881 KachelY + 1 96033 0.25622273 -1.11526433 14.680481 -63.899939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11524324--1.11526433) × R
    2.10899999999459e-05 × 6371000     		dl = 134.364389999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11524324--1.11526433) × R
    2.10899999999459e-05 × 6371000     		dr = 134.364389999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25617479-0.25622273) × cos(-1.11524324) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.439959062876721 × 6371000     		do = 134.374822348896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25617479-0.25622273) × cos(-1.11526433) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.439940123582843 × 6371000     		du = 134.369037801049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11524324)-sin(-1.11526433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439959062876721-0.439940123582843)×R²
    abs(0.25622273-0.25617479)×1.89392938774735e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89392938774735e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89392938774735e-05×40589641000000     		ar = 18054.8024183237m²