Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7088 / 9296
↖ ↑ ↗
← N 77.970745°
W141.064453°		 ← 127.29 m → N 77.970745°
W141.058960°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
N 77.969600°
W141.064453°		 ← 127.31 m →
16 204 m²		 N 77.969600°
W141.058960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108161926269531 y=0.141853332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108161926269531 × 216)
    floor (0.108161926269531 × 65536)
    floor (7088.5)     		tx = 7088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141853332519531 × 216)
    floor (0.141853332519531 × 65536)
    floor (9296.5)     		ty = 9296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7088 / 9296 ti = "16/7088/9296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7088/9296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7088 ÷ 216
    7088 ÷ 65536     		x = 0.108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9296 ÷ 216
    9296 ÷ 65536     		y = 0.141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.78369140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46203916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141845703125 × 2 - 1) × π
    0.71630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25034981576392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46203916} λ = -2.46203916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25034981576392))-π/2
    2×atan(9.49105537649784)-π/2
    2×1.4658212734273-π/2
    2.9316425468546-1.57079632675     		φ = 1.36084622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46203916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36084622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.970745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7088 KachelY 9296 -2.46203916 1.36084622 -141.064453 77.970745
    Oben rechts KachelX + 1 7089 KachelY 9296 -2.46194329 1.36084622 -141.058960 77.970745
    Unten links KachelX 7088 KachelY + 1 9297 -2.46203916 1.36082624 -141.064453 77.969600
    Unten rechts KachelX + 1 7089 KachelY + 1 9297 -2.46194329 1.36082624 -141.058960 77.969600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36084622-1.36082624) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36084622-1.36082624) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46203916--2.46194329) × cos(1.36084622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208411102489631 × 6371000     		do = 127.29495253288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46203916--2.46194329) × cos(1.36082624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208430643713489 × 6371000     		du = 127.306888073424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36084622)-sin(1.36082624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208411102489631-0.208430643713489)×R²
    abs(-2.46194329--2.46203916)×1.95412238583326e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95412238583326e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95412238583326e-05×40589641000000     		ar = 16204.4625822813m²