Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70871 / 95928
↖ ↑ ↗
← S 63.772777°
E 14.653015°		 ← 134.98 m → S 63.772777°
E 14.655762°		 →
↑
134.94 m
↓
↑
134.94 m
↓
S 63.773991°
E 14.653015°		 ← 134.97 m →
18 213 m²		 S 63.773991°
E 14.655762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540706634521484 y=0.731876373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540706634521484 × 217)
    floor (0.540706634521484 × 131072)
    floor (70871.5)     		tx = 70871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731876373291016 × 217)
    floor (0.731876373291016 × 131072)
    floor (95928.5)     		ty = 95928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70871 / 95928 ti = "17/70871/95928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70871/95928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70871 ÷ 217
    70871 ÷ 131072     		x = 0.540702819824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95928 ÷ 217
    95928 ÷ 131072     		y = 0.73187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540702819824219 × 2 - 1) × π
    0.0814056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25574336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73187255859375 × 2 - 1) × π
    -0.4637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45689825325275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25574336} λ = 0.25574336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45689825325275))-π/2
    2×atan(0.232957731148629)-π/2
    2×0.22887569507811-π/2
    0.457751390156221-1.57079632675     		φ = -1.11304494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25574336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.653015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11304494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.772777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70871 KachelY 95928 0.25574336 -1.11304494 14.653015 -63.772777
    Oben rechts KachelX + 1 70872 KachelY 95928 0.25579130 -1.11304494 14.655762 -63.772777
    Unten links KachelX 70871 KachelY + 1 95929 0.25574336 -1.11306612 14.653015 -63.773991
    Unten rechts KachelX + 1 70872 KachelY + 1 95929 0.25579130 -1.11306612 14.655762 -63.773991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11304494--1.11306612) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dl = 134.937780000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11304494--1.11306612) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dr = 134.937780000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25574336-0.25579130) × cos(-1.11304494) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44193211082672 × 6371000     		do = 134.977441979081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25574336-0.25579130) × cos(-1.11306612) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.441913111240391 × 6371000     		du = 134.971639016366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11304494)-sin(-1.11306612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44193211082672-0.441913111240391)×R²
    abs(0.25579130-0.25574336)×1.89995863295045e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89995863295045e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89995863295045e-05×40589641000000     		ar = 18213.1648519001m²