Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7087 / 5299
↖ ↑ ↗
← N 53.501117°
W 24.279785°		 ← 1 453.24 m → N 53.501117°
W 24.257813°		 →
↑
1 453.48 m
↓
↑
1 453.48 m
↓
N 53.488046°
W 24.279785°		 ← 1 453.69 m →
2 112 583 m²		 N 53.488046°
W 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432586669921875 y=0.323455810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432586669921875 × 214)
    floor (0.432586669921875 × 16384)
    floor (7087.5)     		tx = 7087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323455810546875 × 214)
    floor (0.323455810546875 × 16384)
    floor (5299.5)     		ty = 5299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7087 / 5299 ti = "14/7087/5299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7087/5299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7087 ÷ 214
    7087 ÷ 16384     		x = 0.43255615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5299 ÷ 214
    5299 ÷ 16384     		y = 0.32342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43255615234375 × 2 - 1) × π
    -0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32342529296875 × 2 - 1) × π
    0.3531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10945160480658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42376219} λ = -0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10945160480658))-π/2
    2×atan(3.03269482306602)-π/2
    2×1.25228348633512-π/2
    2.50456697267025-1.57079632675     		φ = 0.93377065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93377065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.501117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7087 KachelY 5299 -0.42376219 0.93377065 -24.279785 53.501117
    Oben rechts KachelX + 1 7088 KachelY 5299 -0.42337870 0.93377065 -24.257813 53.501117
    Unten links KachelX 7087 KachelY + 1 5300 -0.42376219 0.93354251 -24.279785 53.488046
    Unten rechts KachelX + 1 7088 KachelY + 1 5300 -0.42337870 0.93354251 -24.257813 53.488046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93377065-0.93354251) × R
    0.000228140000000043 × 6371000     		dl = 1453.47994000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93377065-0.93354251) × R
    0.000228140000000043 × 6371000     		dr = 1453.47994000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42376219--0.42337870) × cos(0.93377065) × R
    0.000383489999999986 × 0.594807111282335 × 6371000     		do = 1453.24153148212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42376219--0.42337870) × cos(0.93354251) × R
    0.000383489999999986 × 0.594990490351902 × 6371000     		du = 1453.68956593707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93377065)-sin(0.93354251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594807111282335-0.594990490351902)×R²
    abs(-0.42337870--0.42376219)×0.000183379069567891×R²
    0.000383489999999986×0.000183379069567891×6371000²
    0.000383489999999986×0.000183379069567891×40589641000000     		ar = 2112583.02769404m²