Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70869 / 95925
↖ ↑ ↗
← S 63.769136°
E 14.647522°		 ← 134.97 m → S 63.769136°
E 14.650268°		 →
↑
135 m
↓
↑
135 m
↓
S 63.770350°
E 14.647522°		 ← 134.96 m →
18 220 m²		 S 63.770350°
E 14.650268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540691375732422 y=0.731853485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540691375732422 × 217)
    floor (0.540691375732422 × 131072)
    floor (70869.5)     		tx = 70869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731853485107422 × 217)
    floor (0.731853485107422 × 131072)
    floor (95925.5)     		ty = 95925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70869 / 95925 ti = "17/70869/95925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70869/95925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70869 ÷ 217
    70869 ÷ 131072     		x = 0.540687561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95925 ÷ 217
    95925 ÷ 131072     		y = 0.731849670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540687561035156 × 2 - 1) × π
    0.0813751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25564749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731849670410156 × 2 - 1) × π
    -0.463699340820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.45675444255389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25564749} λ = 0.25564749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45675444255389))-π/2
    2×atan(0.232991235371825)-π/2
    2×0.228907474410964-π/2
    0.457814948821928-1.57079632675     		φ = -1.11298138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25564749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.647522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11298138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.769136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70869 KachelY 95925 0.25564749 -1.11298138 14.647522 -63.769136
    Oben rechts KachelX + 1 70870 KachelY 95925 0.25569542 -1.11298138 14.650268 -63.769136
    Unten links KachelX 70869 KachelY + 1 95926 0.25564749 -1.11300257 14.647522 -63.770350
    Unten rechts KachelX + 1 70870 KachelY + 1 95926 0.25569542 -1.11300257 14.650268 -63.770350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11298138--1.11300257) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dl = 135.001490000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11298138--1.11300257) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dr = 135.001490000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25564749-0.25569542) × cos(-1.11298138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.441989126336598 × 6371000     		do = 134.966696856153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25564749-0.25569542) × cos(-1.11300257) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.441970118374926 × 6371000     		du = 134.96089254639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11298138)-sin(-1.11300257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441989126336598-0.441970118374926)×R²
    abs(0.25569542-0.25564749)×1.90079616722016e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90079616722016e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90079616722016e-05×40589641000000     		ar = 18220.3133814317m²