Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70867 / 95914
↖ ↑ ↗
← S 63.755779°
E 14.642029°		 ← 135.06 m → S 63.755779°
E 14.644775°		 →
↑
135.07 m
↓
↑
135.07 m
↓
S 63.756994°
E 14.642029°		 ← 135.05 m →
18 241 m²		 S 63.756994°
E 14.644775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540676116943359 y=0.731769561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540676116943359 × 217)
    floor (0.540676116943359 × 131072)
    floor (70867.5)     		tx = 70867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731769561767578 × 217)
    floor (0.731769561767578 × 131072)
    floor (95914.5)     		ty = 95914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70867 / 95914 ti = "17/70867/95914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70867/95914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70867 ÷ 217
    70867 ÷ 131072     		x = 0.540672302246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95914 ÷ 217
    95914 ÷ 131072     		y = 0.731765747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540672302246094 × 2 - 1) × π
    0.0813446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25555161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731765747070312 × 2 - 1) × π
    -0.463531494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45622713665807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25555161} λ = 0.25555161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45622713665807))-π/2
    2×atan(0.233114125421388)-π/2
    2×0.229024033710834-π/2
    0.458048067421668-1.57079632675     		φ = -1.11274826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25555161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.642029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11274826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.755779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70867 KachelY 95914 0.25555161 -1.11274826 14.642029 -63.755779
    Oben rechts KachelX + 1 70868 KachelY 95914 0.25559955 -1.11274826 14.644775 -63.755779
    Unten links KachelX 70867 KachelY + 1 95915 0.25555161 -1.11276946 14.642029 -63.756994
    Unten rechts KachelX + 1 70868 KachelY + 1 95915 0.25559955 -1.11276946 14.644775 -63.756994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11274826--1.11276946) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dl = 135.06519999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11274826--1.11276946) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dr = 135.06519999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25555161-0.25559955) × cos(-1.11274826) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44219822772226 × 6371000     		do = 135.058720928828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25555161-0.25559955) × cos(-1.11276946) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442179212975134 × 6371000     		du = 135.052913335616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11274826)-sin(-1.11276946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44219822772226-0.442179212975134)×R²
    abs(0.25559955-0.25555161)×1.90147471262891e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90147471262891e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90147471262891e-05×40589641000000     		ar = 18241.3409528941m²