Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70857 / 96390
↖ ↑ ↗
← S 64.328012°
E 14.614563°		 ← 132.32 m → S 64.328012°
E 14.617310°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
S 64.329201°
E 14.614563°		 ← 132.31 m →
17 500 m²		 S 64.329201°
E 14.617310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540599822998047 y=0.735401153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540599822998047 × 217)
    floor (0.540599822998047 × 131072)
    floor (70857.5)     		tx = 70857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735401153564453 × 217)
    floor (0.735401153564453 × 131072)
    floor (96390.5)     		ty = 96390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70857 / 96390 ti = "17/70857/96390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70857/96390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70857 ÷ 217
    70857 ÷ 131072     		x = 0.540596008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96390 ÷ 217
    96390 ÷ 131072     		y = 0.735397338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540596008300781 × 2 - 1) × π
    0.0811920166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25507224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735397338867188 × 2 - 1) × π
    -0.470794677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47904510087721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25507224} λ = 0.25507224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47904510087721))-π/2
    2×atan(0.227855163229508)-π/2
    2×0.224030360464876-π/2
    0.448060720929752-1.57079632675     		φ = -1.12273561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25507224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.614563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12273561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.328012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70857 KachelY 96390 0.25507224 -1.12273561 14.614563 -64.328012
    Oben rechts KachelX + 1 70858 KachelY 96390 0.25512018 -1.12273561 14.617310 -64.328012
    Unten links KachelX 70857 KachelY + 1 96391 0.25507224 -1.12275637 14.614563 -64.329201
    Unten rechts KachelX + 1 70858 KachelY + 1 96391 0.25512018 -1.12275637 14.617310 -64.329201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12273561--1.12275637) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12273561--1.12275637) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25507224-0.25512018) × cos(-1.12273561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433218495349949 × 6371000     		do = 132.316079523858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25507224-0.25512018) × cos(-1.12275637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43319978449841 × 6371000     		du = 132.310364748181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12273561)-sin(-1.12275637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433218495349949-0.43319978449841)×R²
    abs(0.25512018-0.25507224)×1.87108515385392e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87108515385392e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87108515385392e-05×40589641000000     		ar = 17500.0060941507m²