Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70855 / 95929
↖ ↑ ↗
← S 63.773991°
E 14.609070°		 ← 134.97 m → S 63.773991°
E 14.611817°		 →
↑
134.94 m
↓
↑
134.94 m
↓
S 63.775205°
E 14.609070°		 ← 134.97 m →
18 212 m²		 S 63.775205°
E 14.611817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540584564208984 y=0.731884002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540584564208984 × 217)
    floor (0.540584564208984 × 131072)
    floor (70855.5)     		tx = 70855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731884002685547 × 217)
    floor (0.731884002685547 × 131072)
    floor (95929.5)     		ty = 95929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70855 / 95929 ti = "17/70855/95929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70855/95929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70855 ÷ 217
    70855 ÷ 131072     		x = 0.540580749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95929 ÷ 217
    95929 ÷ 131072     		y = 0.731880187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540580749511719 × 2 - 1) × π
    0.0811614990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25497637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731880187988281 × 2 - 1) × π
    -0.463760375976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.45694619015237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25497637} λ = 0.25497637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45694619015237))-π/2
    2×atan(0.232946564144913)-π/2
    2×0.228865102878164-π/2
    0.457730205756328-1.57079632675     		φ = -1.11306612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25497637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.609070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11306612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.773991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70855 KachelY 95929 0.25497637 -1.11306612 14.609070 -63.773991
    Oben rechts KachelX + 1 70856 KachelY 95929 0.25502431 -1.11306612 14.611817 -63.773991
    Unten links KachelX 70855 KachelY + 1 95930 0.25497637 -1.11308730 14.609070 -63.775205
    Unten rechts KachelX + 1 70856 KachelY + 1 95930 0.25502431 -1.11308730 14.611817 -63.775205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11306612--1.11308730) × R
    2.1179999999843e-05 × 6371000     		dl = 134.937779999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11306612--1.11308730) × R
    2.1179999999843e-05 × 6371000     		dr = 134.937779999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25497637-0.25502431) × cos(-1.11306612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441913111240391 × 6371000     		do = 134.97163901621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25497637-0.25502431) × cos(-1.11308730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441894111455822 × 6371000     		du = 134.965835992949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11306612)-sin(-1.11308730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441913111240391-0.441894111455822)×R²
    abs(0.25502431-0.25497637)×1.89997845682077e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89997845682077e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89997845682077e-05×40589641000000     		ar = 18212.381808913m²