Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70854 / 95931
↖ ↑ ↗
← S 63.776419°
E 14.606323°		 ← 134.96 m → S 63.776419°
E 14.609070°		 →
↑
134.94 m
↓
↑
134.94 m
↓
S 63.777632°
E 14.606323°		 ← 134.95 m →
18 211 m²		 S 63.777632°
E 14.609070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540576934814453 y=0.731899261474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540576934814453 × 217)
    floor (0.540576934814453 × 131072)
    floor (70854.5)     		tx = 70854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731899261474609 × 217)
    floor (0.731899261474609 × 131072)
    floor (95931.5)     		ty = 95931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70854 / 95931 ti = "17/70854/95931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70854/95931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70854 ÷ 217
    70854 ÷ 131072     		x = 0.540573120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95931 ÷ 217
    95931 ÷ 131072     		y = 0.731895446777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540573120117188 × 2 - 1) × π
    0.081146240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25492843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731895446777344 × 2 - 1) × π
    -0.463790893554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.45704206395161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25492843} λ = 0.25492843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45704206395161))-π/2
    2×atan(0.232924231743352)-π/2
    2×0.22884391984469-π/2
    0.457687839689381-1.57079632675     		φ = -1.11310849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25492843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.606323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11310849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.776419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70854 KachelY 95931 0.25492843 -1.11310849 14.606323 -63.776419
    Oben rechts KachelX + 1 70855 KachelY 95931 0.25497637 -1.11310849 14.609070 -63.776419
    Unten links KachelX 70854 KachelY + 1 95932 0.25492843 -1.11312967 14.606323 -63.777632
    Unten rechts KachelX + 1 70855 KachelY + 1 95932 0.25497637 -1.11312967 14.609070 -63.777632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11310849--1.11312967) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dl = 134.937780000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11310849--1.11312967) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dr = 134.937780000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25492843-0.25497637) × cos(-1.11310849) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.441875102502258 × 6371000     		do = 134.960030169396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25492843-0.25497637) × cos(-1.11312967) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.441856102321144 × 6371000     		du = 134.954227025019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11310849)-sin(-1.11312967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441875102502258-0.441856102321144)×R²
    abs(0.25497637-0.25492843)×1.90001811141705e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90001811141705e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90001811141705e-05×40589641000000     		ar = 18210.8153289548m²