Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70850 / 95942
↖ ↑ ↗
← S 63.789766°
E 14.595337°		 ← 134.90 m → S 63.789766°
E 14.598083°		 →
↑
134.87 m
↓
↑
134.87 m
↓
S 63.790979°
E 14.595337°		 ← 134.89 m →
18 194 m²		 S 63.790979°
E 14.598083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540546417236328 y=0.731983184814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540546417236328 × 217)
    floor (0.540546417236328 × 131072)
    floor (70850.5)     		tx = 70850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731983184814453 × 217)
    floor (0.731983184814453 × 131072)
    floor (95942.5)     		ty = 95942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70850 / 95942 ti = "17/70850/95942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70850/95942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70850 ÷ 217
    70850 ÷ 131072     		x = 0.540542602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95942 ÷ 217
    95942 ÷ 131072     		y = 0.731979370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540542602539062 × 2 - 1) × π
    0.081085205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25473668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731979370117188 × 2 - 1) × π
    -0.463958740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45756936984743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25473668} λ = 0.25473668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45756936984743))-π/2
    2×atan(0.23280144179945)-π/2
    2×0.228727445721945-π/2
    0.45745489144389-1.57079632675     		φ = -1.11334144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25473668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.595337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11334144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.789766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70850 KachelY 95942 0.25473668 -1.11334144 14.595337 -63.789766
    Oben rechts KachelX + 1 70851 KachelY 95942 0.25478462 -1.11334144 14.598083 -63.789766
    Unten links KachelX 70850 KachelY + 1 95943 0.25473668 -1.11336261 14.595337 -63.790979
    Unten rechts KachelX + 1 70851 KachelY + 1 95943 0.25478462 -1.11336261 14.598083 -63.790979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11334144--1.11336261) × R
    2.11700000001258e-05 × 6371000     		dl = 134.874070000802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11334144--1.11336261) × R
    2.11700000001258e-05 × 6371000     		dr = 134.874070000802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25473668-0.25478462) × cos(-1.11334144) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.441666116525064 × 6371000     		do = 134.896200472662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25473668-0.25478462) × cos(-1.11336261) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.441647123136241 × 6371000     		du = 134.890399402825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11334144)-sin(-1.11336261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441666116525064-0.441647123136241)×R²
    abs(0.25478462-0.25473668)×1.89933888224969e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89933888224969e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89933888224969e-05×40589641000000     		ar = 18193.6083792243m²