Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7085 / 3768
↖ ↑ ↗
← N 69.224997°
W 24.323730°		 ← 866.61 m → N 69.224997°
W 24.301758°		 →
↑
866.77 m
↓
↑
866.77 m
↓
N 69.217202°
W 24.323730°		 ← 866.92 m →
751 287 m²		 N 69.217202°
W 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432464599609375 y=0.230010986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432464599609375 × 214)
    floor (0.432464599609375 × 16384)
    floor (7085.5)     		tx = 7085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230010986328125 × 214)
    floor (0.230010986328125 × 16384)
    floor (3768.5)     		ty = 3768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7085 / 3768 ti = "14/7085/3768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7085/3768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7085 ÷ 214
    7085 ÷ 16384     		x = 0.43243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3768 ÷ 214
    3768 ÷ 16384     		y = 0.22998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22998046875 × 2 - 1) × π
    0.5400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69658275135303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42452918} λ = -0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69658275135303))-π/2
    2×atan(5.45527347728584)-π/2
    2×1.38950022328237-π/2
    2.77900044656474-1.57079632675     		φ = 1.20820412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20820412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.224997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7085 KachelY 3768 -0.42452918 1.20820412 -24.323730 69.224997
    Oben rechts KachelX + 1 7086 KachelY 3768 -0.42414569 1.20820412 -24.301758 69.224997
    Unten links KachelX 7085 KachelY + 1 3769 -0.42452918 1.20806807 -24.323730 69.217202
    Unten rechts KachelX + 1 7086 KachelY + 1 3769 -0.42414569 1.20806807 -24.301758 69.217202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20820412-1.20806807) × R
    0.000136050000000054 × 6371000     		dl = 866.774550000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20820412-1.20806807) × R
    0.000136050000000054 × 6371000     		dr = 866.774550000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42452918--0.42414569) × cos(1.20820412) × R
    0.000383489999999986 × 0.354699085104731 × 6371000     		do = 866.606050727316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42452918--0.42414569) × cos(1.20806807) × R
    0.000383489999999986 × 0.354826285920414 × 6371000     		du = 866.916829641494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20820412)-sin(1.20806807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354699085104731-0.354826285920414)×R²
    abs(-0.42414569--0.42452918)×0.000127200815683459×R²
    0.000383489999999986×0.000127200815683459×6371000²
    0.000383489999999986×0.000127200815683459×40589641000000     		ar = 751286.758431358m²