Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7085 / 3766
↖ ↑ ↗
← N 69.240578°
W 24.323730°		 ← 865.98 m → N 69.240578°
W 24.301758°		 →
↑
866.14 m
↓
↑
866.14 m
↓
N 69.232789°
W 24.323730°		 ← 866.30 m →
750 196 m²		 N 69.232789°
W 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432464599609375 y=0.229888916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432464599609375 × 214)
    floor (0.432464599609375 × 16384)
    floor (7085.5)     		tx = 7085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229888916015625 × 214)
    floor (0.229888916015625 × 16384)
    floor (3766.5)     		ty = 3766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7085 / 3766 ti = "14/7085/3766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7085/3766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7085 ÷ 214
    7085 ÷ 16384     		x = 0.43243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3766 ÷ 214
    3766 ÷ 16384     		y = 0.2298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2298583984375 × 2 - 1) × π
    0.540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69734974174695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42452918} λ = -0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69734974174695))-π/2
    2×atan(5.45945922464794)-π/2
    2×1.3896361999146-π/2
    2.77927239982919-1.57079632675     		φ = 1.20847607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20847607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.240578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7085 KachelY 3766 -0.42452918 1.20847607 -24.323730 69.240578
    Oben rechts KachelX + 1 7086 KachelY 3766 -0.42414569 1.20847607 -24.301758 69.240578
    Unten links KachelX 7085 KachelY + 1 3767 -0.42452918 1.20834012 -24.323730 69.232789
    Unten rechts KachelX + 1 7086 KachelY + 1 3767 -0.42414569 1.20834012 -24.301758 69.232789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20847607-1.20834012) × R
    0.000135949999999996 × 6371000     		dl = 866.137449999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20847607-1.20834012) × R
    0.000135949999999996 × 6371000     		dr = 866.137449999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42452918--0.42414569) × cos(1.20847607) × R
    0.000383489999999986 × 0.354444804041246 × 6371000     		do = 865.984787472193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42452918--0.42414569) × cos(1.20834012) × R
    0.000383489999999986 × 0.354571924475146 × 6371000     		du = 866.295369996408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20847607)-sin(1.20834012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354444804041246-0.354571924475146)×R²
    abs(-0.42414569--0.42452918)×0.000127120433899786×R²
    0.000383489999999986×0.000127120433899786×6371000²
    0.000383489999999986×0.000127120433899786×40589641000000     		ar = 750196.360293299m²