Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7085 / 1166
↖ ↑ ↗
← N 77.934055°
E131.352539°		 ← 1 021.46 m → N 77.934055°
E131.396484°		 →
↑
1 021.84 m
↓
↑
1 021.84 m
↓
N 77.924865°
E131.352539°		 ← 1 022.23 m →
1 044 165 m²		 N 77.924865°
E131.396484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.86492919921875 y=0.14239501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.86492919921875 × 213)
    floor (0.86492919921875 × 8192)
    floor (7085.5)     		tx = 7085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14239501953125 × 213)
    floor (0.14239501953125 × 8192)
    floor (1166.5)     		ty = 1166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7085 / 1166 ti = "13/7085/1166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7085/1166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7085 ÷ 213
    7085 ÷ 8192     		x = 0.8648681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1166 ÷ 213
    1166 ÷ 8192     		y = 0.142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8648681640625 × 2 - 1) × π
    0.729736328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29253429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142333984375 × 2 - 1) × π
    0.71533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24728185418823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29253429} λ = 2.29253429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24728185418823))-π/2
    2×atan(9.46198180439541)-π/2
    2×1.46550109469921-π/2
    2.93100218939842-1.57079632675     		φ = 1.36020586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29253429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.352539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36020586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.934055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7085 KachelY 1166 2.29253429 1.36020586 131.352539 77.934055
    Oben rechts KachelX + 1 7086 KachelY 1166 2.29330128 1.36020586 131.396484 77.934055
    Unten links KachelX 7085 KachelY + 1 1167 2.29253429 1.36004547 131.352539 77.924865
    Unten rechts KachelX + 1 7086 KachelY + 1 1167 2.29330128 1.36004547 131.396484 77.924865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36020586-1.36004547) × R
    0.00016039000000001 × 6371000     		dl = 1021.84469000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36020586-1.36004547) × R
    0.00016039000000001 × 6371000     		dr = 1021.84469000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29253429-2.29330128) × cos(1.36020586) × R
    0.000766990000000245 × 0.20903735825219 × 6371000     		do = 1021.45964845898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29253429-2.29330128) × cos(1.36004547) × R
    0.000766990000000245 × 0.209194202171659 × 6371000     		du = 1022.22606521904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36020586)-sin(1.36004547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20903735825219-0.209194202171659)×R²
    abs(2.29330128-2.29253429)×0.000156843919469074×R²
    0.000766990000000245×0.000156843919469074×6371000²
    0.000766990000000245×0.000156843919469074×40589641000000     		ar = 1044164.69951306m²