Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70849 / 95927
↖ ↑ ↗
← S 63.771563°
E 14.592590°		 ← 134.96 m → S 63.771563°
E 14.595337°		 →
↑
135 m
↓
↑
135 m
↓
S 63.772777°
E 14.592590°		 ← 134.95 m →
18 219 m²		 S 63.772777°
E 14.595337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540538787841797 y=0.731868743896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540538787841797 × 217)
    floor (0.540538787841797 × 131072)
    floor (70849.5)     		tx = 70849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731868743896484 × 217)
    floor (0.731868743896484 × 131072)
    floor (95927.5)     		ty = 95927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70849 / 95927 ti = "17/70849/95927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70849/95927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70849 ÷ 217
    70849 ÷ 131072     		x = 0.540534973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95927 ÷ 217
    95927 ÷ 131072     		y = 0.731864929199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540534973144531 × 2 - 1) × π
    0.0810699462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25468875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731864929199219 × 2 - 1) × π
    -0.463729858398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.45685031635313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25468875} λ = 0.25468875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45685031635313))-π/2
    2×atan(0.232968898687669)-π/2
    2×0.228886287733549-π/2
    0.457772575467098-1.57079632675     		φ = -1.11302375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25468875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.592590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11302375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.771563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70849 KachelY 95927 0.25468875 -1.11302375 14.592590 -63.771563
    Oben rechts KachelX + 1 70850 KachelY 95927 0.25473668 -1.11302375 14.595337 -63.771563
    Unten links KachelX 70849 KachelY + 1 95928 0.25468875 -1.11304494 14.592590 -63.772777
    Unten rechts KachelX + 1 70850 KachelY + 1 95928 0.25473668 -1.11304494 14.595337 -63.772777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11302375--1.11304494) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dl = 135.001490000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11302375--1.11304494) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dr = 135.001490000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25468875-0.25473668) × cos(-1.11302375) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.441951119185194 × 6371000     		do = 134.955090915089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25468875-0.25473668) × cos(-1.11304494) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.44193211082672 × 6371000     		du = 134.949286484159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11302375)-sin(-1.11304494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441951119185194-0.44193211082672)×R²
    abs(0.25473668-0.25468875)×1.90083584734602e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90083584734602e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90083584734602e-05×40589641000000     		ar = 18218.7465538702m²