Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70848 / 95677
↖ ↑ ↗
← S 63.466464°
E 14.589844°		 ← 136.44 m → S 63.466464°
E 14.592590°		 →
↑
136.47 m
↓
↑
136.47 m
↓
S 63.467691°
E 14.589844°		 ← 136.43 m →
18 619 m²		 S 63.467691°
E 14.592590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540531158447266 y=0.729961395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540531158447266 × 217)
    floor (0.540531158447266 × 131072)
    floor (70848.5)     		tx = 70848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729961395263672 × 217)
    floor (0.729961395263672 × 131072)
    floor (95677.5)     		ty = 95677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70848 / 95677 ti = "17/70848/95677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70848/95677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70848 ÷ 217
    70848 ÷ 131072     		x = 0.54052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95677 ÷ 217
    95677 ÷ 131072     		y = 0.729957580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54052734375 × 2 - 1) × π
    0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729957580566406 × 2 - 1) × π
    -0.459915161132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.44486609144811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25464081} λ = 0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44486609144811))-π/2
    2×atan(0.235777647085323)-π/2
    2×0.231548781737129-π/2
    0.463097563474258-1.57079632675     		φ = -1.10769876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10769876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.466464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70848 KachelY 95677 0.25464081 -1.10769876 14.589844 -63.466464
    Oben rechts KachelX + 1 70849 KachelY 95677 0.25468875 -1.10769876 14.592590 -63.466464
    Unten links KachelX 70848 KachelY + 1 95678 0.25464081 -1.10772018 14.589844 -63.467691
    Unten rechts KachelX + 1 70849 KachelY + 1 95678 0.25468875 -1.10772018 14.592590 -63.467691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10769876--1.10772018) × R
    2.14200000001608e-05 × 6371000     		dl = 136.466820001024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10769876--1.10772018) × R
    2.14200000001608e-05 × 6371000     		dr = 136.466820001024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25464081-0.25468875) × cos(-1.10769876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446721555168166 × 6371000     		do = 136.440261561256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25464081-0.25468875) × cos(-1.10772018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446702391169125 × 6371000     		du = 136.434408382668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10769876)-sin(-1.10772018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446721555168166-0.446702391169125)×R²
    abs(0.25468875-0.25464081)×1.91639990407277e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91639990407277e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91639990407277e-05×40589641000000     		ar = 18619.1692336032m²