Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70847 / 96309
↖ ↑ ↗
← S 64.231463°
E 14.587097°		 ← 132.78 m → S 64.231463°
E 14.589844°		 →
↑
132.77 m
↓
↑
132.77 m
↓
S 64.232657°
E 14.587097°		 ← 132.77 m →
17 629 m²		 S 64.232657°
E 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540523529052734 y=0.734783172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540523529052734 × 217)
    floor (0.540523529052734 × 131072)
    floor (70847.5)     		tx = 70847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734783172607422 × 217)
    floor (0.734783172607422 × 131072)
    floor (96309.5)     		ty = 96309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70847 / 96309 ti = "17/70847/96309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70847/96309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70847 ÷ 217
    70847 ÷ 131072     		x = 0.540519714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96309 ÷ 217
    96309 ÷ 131072     		y = 0.734779357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540519714355469 × 2 - 1) × π
    0.0810394287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25459287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734779357910156 × 2 - 1) × π
    -0.469558715820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.47516221200799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25459287} λ = 0.25459287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47516221200799))-π/2
    2×atan(0.228741619398258)-π/2
    2×0.224872903134452-π/2
    0.449745806268903-1.57079632675     		φ = -1.12105052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25459287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.587097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12105052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.231463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70847 KachelY 96309 0.25459287 -1.12105052 14.587097 -64.231463
    Oben rechts KachelX + 1 70848 KachelY 96309 0.25464081 -1.12105052 14.589844 -64.231463
    Unten links KachelX 70847 KachelY + 1 96310 0.25459287 -1.12107136 14.587097 -64.232657
    Unten rechts KachelX + 1 70848 KachelY + 1 96310 0.25464081 -1.12107136 14.589844 -64.232657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12105052--1.12107136) × R
    2.08399999999109e-05 × 6371000     		dl = 132.771639999433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12105052--1.12107136) × R
    2.08399999999109e-05 × 6371000     		dr = 132.771639999433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25459287-0.25464081) × cos(-1.12105052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43473663252625 × 6371000     		do = 132.779757694351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25459287-0.25464081) × cos(-1.12107136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43471786481066 × 6371000     		du = 132.774025550929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12105052)-sin(-1.12107136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43473663252625-0.43471786481066)×R²
    abs(0.25464081-0.25459287)×1.87677155901178e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87677155901178e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87677155901178e-05×40589641000000     		ar = 17629.0056553524m²