Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70847 / 95673
↖ ↑ ↗
← S 63.461556°
E 14.587097°		 ← 136.46 m → S 63.461556°
E 14.589844°		 →
↑
136.47 m
↓
↑
136.47 m
↓
S 63.462783°
E 14.587097°		 ← 136.46 m →
18 622 m²		 S 63.462783°
E 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540523529052734 y=0.729930877685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540523529052734 × 217)
    floor (0.540523529052734 × 131072)
    floor (70847.5)     		tx = 70847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729930877685547 × 217)
    floor (0.729930877685547 × 131072)
    floor (95673.5)     		ty = 95673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70847 / 95673 ti = "17/70847/95673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70847/95673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70847 ÷ 217
    70847 ÷ 131072     		x = 0.540519714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95673 ÷ 217
    95673 ÷ 131072     		y = 0.729927062988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540519714355469 × 2 - 1) × π
    0.0810394287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25459287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729927062988281 × 2 - 1) × π
    -0.459854125976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.44467434384963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25459287} λ = 0.25459287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44467434384963))-π/2
    2×atan(0.235822861217639)-π/2
    2×0.231591614303377-π/2
    0.463183228606753-1.57079632675     		φ = -1.10761310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25459287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.587097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10761310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.461556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70847 KachelY 95673 0.25459287 -1.10761310 14.587097 -63.461556
    Oben rechts KachelX + 1 70848 KachelY 95673 0.25464081 -1.10761310 14.589844 -63.461556
    Unten links KachelX 70847 KachelY + 1 95674 0.25459287 -1.10763452 14.587097 -63.462783
    Unten rechts KachelX + 1 70848 KachelY + 1 95674 0.25464081 -1.10763452 14.589844 -63.462783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10761310--1.10763452) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000     		dl = 136.46681999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10761310--1.10763452) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000     		dr = 136.46681999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25459287-0.25464081) × cos(-1.10761310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446798191221913 × 6371000     		do = 136.463668184525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25459287-0.25464081) × cos(-1.10763452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446779028042587 × 6371000     		du = 136.457815256298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10761310)-sin(-1.10763452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446798191221913-0.446779028042587)×R²
    abs(0.25464081-0.25459287)×1.91631793264313e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91631793264313e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91631793264313e-05×40589641000000     		ar = 18622.3634780415m²